一次元箱形障壁のトンネル/メモ の履歴(No.2)
更新トンネル障壁再考†
https://m-repo.lib.meiji.ac.jp/dspace/bitstream/10291/5021/1/kyouyoronshu_240_17.pdf
を参考にやってみる。
位置 から始まる、 厚さ 高さ のトンネル障壁の手前で
直後で、
とすると、障壁内での波動関数は
を用いて
と表せることから、両端でなめらかに接続する条件を次の4つの式で表せる。
(1)
(2)
(3)
(4) &math(\varphi'(x_1+a)=\kappa Ee^{\kappa (x_1+a)}-\kappa Fe^{-\kappa (x_1+a)}
=ikCe^{ik(x_1+a)}-ikDe^{-ik(x_1+a)});
この4つから を消去し、 を で表す。
(2) に を導入すると、
(1) と合わせて、
&math( \begin{pmatrix} 1&1\\ i&-i\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix}Ae^{ikx_1}\\Be^{-ikx_1}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1&1\\ \lambda&-\lambda\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix}Ee^{\kappa x_1}\\Fe^{-\kappa x_1}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1&1\\ \lambda&-\lambda\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix}e^{\kappa x_1}&\\&e^{-\kappa x_1}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}E\\F\end{pmatrix} );
(4) に を導入すると、
&math(\lambda Ee^{\kappa (x_1+a)}-\lambda Fe^{-\kappa (x_1+a)} =iCe^{ik(x_1+a)}-iDe^{-ik(x_1+a)});
(3) と合わせて、
&math( \begin{pmatrix} 1&1\\ \lambda&-\lambda\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} Ee^{\kappa (x_1+a)}\\Fe^{-\kappa (x_1+a)} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1&1\\ i&-i\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e^{\kappa (x_1+a)}&\\&e^{-\kappa (x_1+a)} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}E\\F\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1&1\\ \lambda&-\lambda\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} Ce^{ik(x_1+a)}\\De^{-ik(x_1+a)}\\ \end{pmatrix} );
したがって、
&math( \begin{pmatrix}E\\F\end{pmatrix}&= \begin{pmatrix}e^{\kappa x_1}&\\&e^{-\kappa x_1}\end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} 1&1\\ \lambda&-\lambda\\ \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} 1&1\\ i&-i\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix}Ae^{ikx_1}\\Be^{-ikx_1}\end{pmatrix} \\&= \begin{pmatrix} e^{\kappa (x_1+a)}&\\&e^{-\kappa (x_1+a)} \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} 1&1\\ \lambda&-\lambda\\ \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} 1&1\\ i&-i\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} Ce^{ik(x_1+a)}\\De^{-ik(x_1+a)}\\ \end{pmatrix} );
ここから、
&math( &\begin{pmatrix} Ce^{ik(x_1+a)}\\De^{-ik(x_1+a)}\\ \end{pmatrix}
\\&= \begin{pmatrix} 1&1\\ i&-i\\ \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} 1&1\\ \lambda&-\lambda\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e^{\kappa (x_1+a)}&\\&e^{-\kappa (x_1+a)} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}e^{\kappa x_1}&\\&e^{-\kappa x_1}\end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} 1&1\\ \lambda&-\lambda\\ \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} 1&1\\ i&-i\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix}Ae^{ikx_1}\\Be^{-ikx_1}\end{pmatrix}
\\&= \frac{1}{4i\lambda} \begin{pmatrix}
- i&-1\\
- i&1\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&1\\ \lambda&-\lambda\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e^{\kappa a}&\\&e^{-\kappa a} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}
- \lambda&-1\\
- \lambda&1\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&1\\ i&-i\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix}Ae^{ikx_1}\\Be^{-ikx_1}\end{pmatrix}
\\&= \frac{1}{4i\lambda} \begin{pmatrix}
- (i+\lambda)e^{\kappa a}&-(i-\lambda)e^{-\kappa a}\\
- (i-\lambda)e^{\kappa a}&-(i+\lambda)e^{-\kappa a}\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix}
- (i+\lambda)&i-\lambda\\ i-\lambda&-(i+\lambda)\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix}Ae^{ikx_1}\\Be^{-ikx_1}\end{pmatrix}
\\&= \frac{1}{4i\lambda} \begin{pmatrix} (i+\lambda)^2e^{\kappa a}-(i-\lambda)^2e^{-\kappa a}& (1+\lambda^2)e^{\kappa a}-(1+\lambda^2)e^{-\kappa a}\\
- (1+\lambda^2)e^{\kappa a}+(1+\lambda^2)e^{-\kappa a}&
- (i+\lambda)^2e^{\kappa a}+(i-\lambda)^2e^{-\kappa a}\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix}Ae^{ikx_1}\\Be^{-ikx_1}\end{pmatrix} );
ここで、
&math( \alpha&=\frac{1}{4i\lambda}\Big[(i+\lambda)^2e^{\kappa a}-(i-\lambda)^2e^{-\kappa a}\Big] =\frac{-\overline X}{2i\lambda} );
&math( Y=\frac{1}{4\lambda}\big[(1+\lambda^2)e^{\kappa a}-(1+\lambda^2)e^{-\kappa a}\big] =\frac{1+\lambda^2}{2\lambda}\sinh \kappa a );
と置けば、
&math( \begin{pmatrix}Ce^{ik(x_1+a)}\\De^{-ik(x_1+a)}\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \alpha&-iY\\ iY&\overline\alpha \end{pmatrix} \begin{pmatrix}Ae^{ikx_1}\\Be^{-ikx_1}\end{pmatrix}\\ );
を得る。
以前の結果から、 すなわち、
である。そこで、
と置けば、
&math( \begin{pmatrix}Ce^{ik(x_1+a)}\\De^{-ik(x_1+a)}\end{pmatrix}=\frac{1}{\sqrt{1-r^2}} \begin{pmatrix} e^{i\theta}&-ir\\ ir&e^{-i\theta} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}Ae^{ikx_1}\\Be^{-ikx_1}\end{pmatrix}\\ );
トンネル問題を考え、 の下にこれを解けば
→ 反射波
&math( Ce^{ik(x_1+a)}&=\frac{1}{\sqrt{1-r^2}}\left( e^{ikx_1+i\theta}-r^2\,e^{ikx_1+i\theta} \right)\\ &=\frac{1}{\sqrt{1-r^2}}e^{ikx_1+i\theta}\left( 1-r^2 \right)\\ &=\sqrt{1-r^2}\,e^{ikx_1+i\theta} );
→ 透過波
となる。
であり、 は反射波の位相の進みを表す。
これだけだと苦労した意味があまりないので、 トンネル障壁が複数ある場合について考える。
2重トンネル†
厚さ の障壁が だけ間を置いて連続して2つあるとする。
障壁前を 、障壁の間を 、障壁の後を で表せば、
&math( &\begin{pmatrix}Ce^{ika}\\De^{-ika}\end{pmatrix}=\frac{1}{\sqrt{1-r^2}} \begin{pmatrix} e^{i\theta}&-ir\\ ir&e^{-i\theta} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}A\\B\end{pmatrix}\\ );
&math( &\begin{pmatrix}Ee^{ik(2a+b)}\\Fe^{-ik(2a+b)}\end{pmatrix}=\frac{1}{\sqrt{1-r^2}} \begin{pmatrix} e^{i\theta}&-ir\\ ir&e^{-i\theta} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}Ce^{ik(a+b)}\\De^{-ik(a+b)}\end{pmatrix}\\ );
より、
&math( \begin{pmatrix}Ee^{ik(2a+b)}\\Fe^{-ik(2a+b)}\end{pmatrix} &= \frac{1}{1-r^2} \begin{pmatrix} e^{i\theta}&-ir\\ ir&e^{-i\theta} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}e^{ikb}&\\&e^{-ikb}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} e^{i\theta}&-ir\\ ir&e^{-i\theta} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}A\\B\end{pmatrix}\\ &= \frac{1}{1-r^2} \begin{pmatrix} e^{ikb+i\theta}&-ire^{-ikb}\\ ire^{ikb}&e^{-ikb-i\theta} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e^{i\theta}&-ir\\ ir&e^{-i\theta} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}A\\B\end{pmatrix}\\ &= \frac{1}{1-r^2} \begin{pmatrix} e^{ikb+2i\theta}+r^2e^{-ikb}&
- ire^{ikb+i\theta}-ire^{-ikb-i\theta}\\ ire^{ikb+i\theta}+ire^{-ikb-i\theta}& r^2e^{ikb}+e^{-ikb-2i\theta} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}A\\B\end{pmatrix}\\ );
と置くと、
&math( |B|^2 &=r^2\left|\frac{e^{ikb+i\theta}+e^{-ikb-i\theta}}{r^2e^{ikb+i\theta}+e^{-ikb-i\theta}}\right|^2\\ &=\frac{4r^2\cos^2(kb+\theta)}{(1+r^2)^2\cos^2(kb+\theta)+(1-r^2)^2\sin^2(kb+\theta)}\\ );
より、透過率は
&math( |E|^2=1-|B|^2 &=\frac{(1+r^2)^2\cos^2(kb+\theta)+(1-r^2)^2\sin^2(kb+\theta)-4r^2\cos^2(kb+\theta)}{(1+r^2)^2\cos^2(kb+\theta)+(1-r^2)^2\sin^2(kb+\theta)}\\ &=\frac{(1-r^2)^2}{(1+r^2)^2\cos^2(kb+\theta)+(1-r^2)^2\sin^2(kb+\theta)}\\ );
となる。
この値は反射率が高く である場合にも、 すなわち の条件で透過率が 100% になることを示している。これが共鳴トンネルと呼ばれる現象である。
このとき、2つの障壁に挟まれた井戸の中での確率分布は、
&math( &\begin{pmatrix}Ce^{ika}\\De^{-ika}\end{pmatrix}=\frac{1}{\sqrt{1-r^2}} \begin{pmatrix} e^{i\theta}&-ir\\ ir&e^{-i\theta} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}A\\0\end{pmatrix}\\ );
より、
&math( &|\varphi(x)|^2=|Ce^{ikx}+De^{-ikx}|^2\\ &=\frac{1}{1-r^2}\Big[1-r^2
- ire^{i2k(x-a)+i\theta}
- ire^{-i2k(x-a)-i\theta} \Big]\\ &=1+\frac{2r}{1-r^2}\sin\{2k(x-a)+\theta\}\\ );
このとき、
&math( |\varphi(a)|^2=1+\frac{2r}{1-r^2}\sin\{2k(x-a)+\theta\} );
&math( |\varphi(a+b)|^2 &=1+\frac{2r}{1-r^2}\sin(2kb+\theta)\\ &=1+\frac{2r}{1-r^2}\sin\{2(kb+\theta)-\theta\}\\ &=1+\frac{2r}{1-r^2}\sin\{2\pi(n+1/2)-\theta\}\\ &=1+\frac{2r}{1-r^2}\sin\theta\\ );
となり、位相 だけ染み出すものの、 ほぼ井戸の両端でゼロになっている。
すなわち、共鳴トンネルの条件は入射波エネルギーが 井戸の準定常状態のエネルギーと一致することが条件となっている。