量子力学Ⅰ/水素原子 の履歴(No.2)
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水素原子†
動径方向のシュレーディンガー方程式は、
&math(
- \frac{\hbar^2}{2m}\frac{\PD^2}{dr^2}rR(r)+ \underbrace{\left\{V(r)+\frac{\hbar^2}{2m}\frac{l(l+1)}{r^2}\right\}}_{V'(r)} rR(r)=\varepsilon rR(r) );
と置けば、 に対する方程式は と遠心力とを加えた仮想的なポテンシャル の中を運動する粒子の 一次元シュレーディンガー方程式と一致する。
水素原子の原子核は電荷 を持つが、 ここでは少し一般化して電荷 を持つ原子核との相互作用を考える。
長さを無次元化して、 と置く。 ただし はボーア半径と呼ばれ、 つまり水素原子の場合の特性長である。
すると、
&math( \frac{\PD^2\chi}{\PD\rho^2}+\left\{\frac{2}{\rho}-\frac{l(l+1)}{\rho^2}\right\}\chi+\eta\chi=0 );
のように単純化できる。
ただし、 ここで、 は系の特性エネルギーである。
上の方程式は のとき、
となるから、近似的に となっているはずである。 また、ここでは束縛解を考えているため において である。
これらの境界条件を満たす解は、 を の整数として、
となるときのみ存在することを示せる。→ 詳しくはこちら
このとき、
ただし
である。具体的な解の形は、
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