量子力学Ⅰ/調和振動子/メモ の履歴(No.2)
更新解答:1次元の調和振動子†
(1)
&math( \left(-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}+\frac{k}{2}x^2\right)\psi(x)=E\psi(x) );
(2)
&math( x^2=\frac{\hbar}{m\omega}\xi^2 ); より、
&math(\left(
- \frac{\hbar^{\not2}}{2\not\!\!m}\frac{\not\!\!m\omega}{\not\!\hbar}\frac{d^2}{d\xi^2}
- \frac{k}{2}\frac{\hbar}{m\omega}\xi^2\right)\psi(\xi)=E\psi(\xi) );
&math(\frac{\hbar\omega}{2}\left(
- \frac{d^2}{d\xi^2}+\frac{k}{m\omega^2}\xi^2 \right)\psi(\xi)=E\psi(\xi) );
&math( \left(-\frac{d^2}{d\xi^2}+\frac{\not\!k}{\not\!\!m\not\!\omega^2}\xi^2-\frac{2E}{\hbar\omega}\right)\psi(\xi)=0 );
&math( \left(-\frac{d^2}{d\xi^2}+\xi^2-\lambda\right)\psi(\xi)=0 );
(3)
&math( &-\frac{d^2}{d\xi^2}\big[X(\xi)e^{-\xi^2/2}\big]+\xi^2H(\xi)e^{-\xi^2/2}-\lambda X(\xi)e^{-\xi^2/2}\\ &=-\frac{d}{d\xi}\big[X'(\xi)e^{-\xi^2/2}-\xi X(\xi)e^{-\xi^2/2}\big]+\xi^2H(\xi)e^{-\xi^2/2}-\lambda X(\xi)e^{-\xi^2/2}\\ &=-X''(\xi)e^{-\xi^2/2}+2\xi X'(\xi)e^{-\xi^2/2}+X(\xi)e^{-\xi^2/2}-\lambda X(\xi)e^{-\xi^2/2}\\ &=0\\ );
両辺を で割れば、
&math( X''(\xi)=2\xi X'(\xi)+(1-\lambda) X(\xi) );
(4)
&math( \sum_{l=0}^\infty l(l-1)c_l\xi^{l-2}=2\xi \sum_{l=0}^\infty l c_l\xi^{l-1}+(1-\lambda) \sum_{l=0}^\infty c_l\xi^l );
左辺は でゼロになるから、 すなわち と書き直して、
&math( \sum_{l=0}^\infty (l+2)(l+1)c_{l+2}\xi^l=2 \sum_{l=0}^\infty l c_l\xi^l+(1-\lambda) \sum_{l=0}^\infty c_l\xi^l );
より において、
(5)
(6)
のとき、 であるから は任意に選べるが、 一方で でなければならない。
したがって、
エルミート多項式が微分方程式を満たすことを確認†
&math( S(\xi,t)=e^{-t^2+2\xi t}=\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n!}H_n(\xi)t^n );
の中辺、右辺を で偏微分すれば、
&math( \frac{\PD}{\PD\xi}(中辺)=2te^{-t^2+2\xi t}=2t\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n!}H_n(\xi)t^n=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{(n-1)!}2H_{n-1}(\xi)t^n );
&math( \frac{\PD}{\PD\xi}(右辺)=\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n!}H_n'(\xi)t^n );
したがって、
同様に で微分すれば、
&math( \frac{\PD}{\PD t}(中辺)=(-2t+2\xi)e^{-t^2+2\xi t}= \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n!}\left(-2nH_{n-1}(\xi)+2\xi H_n(\xi)\right)t^n );
&math( \frac{\PD}{\PD t}(右辺)=\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n!}nH_n(\xi)t^{n-1}=\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n!}H_{n+1}(\xi)t^n );
したがって、
番号を1つずらして、
また、
、
より、
となって、求める微分方程式を満たすことを確認できた。
エルミート多項式の漸化式†
証明したい漸化式は微分を済ませて で割れば、
および、
であるから、上記の関係式により常に成り立つ。