線形代数I/教科書演習/1A−2 の履歴(No.3)
更新教科書演習1A−2†
で、 と が1次独立であるための 必要十分条件は であることを示せ。
解答†
まず十分であること、つまり であれば1次独立であることを示そう。
このために、
の解、 を求める。
のとき、
・・・ ①
であり、これを に代入することで
を得る。 よりこれは を表し、① からすぐに を得る。
一方、 のとき、 より であり、 すなわち であるから、
・・・ ②
となり、 のときと同様に を得る。
すなわち、 であれば1次独立であることが示された。
次に必要であることを示すが、ここでは背理法を用いることにする。
つまり1次独立であれば
であることを示すかわりに、
であれば1次従属であることを示す。
・・・ ③
(1) のとき、
であるならば、 は を表す。
(1a) さらに ならば は自動的に成立し、 を満たすすべての は③を満たす。
(1b) ならば となり、 であれば x の値に依らず③が成立する。
(2) のとき
上で見たとおり、 となるすべての は ③を満たす。
すなわち であれば と は 線形従属であることが示された。
以上により与えられた命題は証明された。
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