線形代数II/内積と計量空間 の履歴(No.3)
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内積†
上の線形空間 の任意の2つの元 の間に、 次の公理を満たす演算 が定義されるとき、この演算を内積と呼ぶ。
このとき、以下の定理を証明可能:
-
の時は
∵ に対して
-
∵1. と 3. より
-
∵2. と 3. より
- 任意の
に対して
∵ および 3.
- ノルム
を定義可能
∵4. より
- 三角不等式が成り立つ
- シュワルツの不等式が成り立つ
あるいは
- 2つのベクトルの間の角度
を定義可能
内積が定義された線形空間を計量線形空間という。
(ベクトルの大きさ(ノルム)および角度が定義された線形空間ということ)
のとき、
すなわち、
と
は直交するという
→
は任意のベクトルと直交する
正規直交系†
が
- 正規性: つまり
- 直交性: つまり ( )
を満たすとき、正規直交系を為すという。あるいはまとめて、
とも書ける。
ここで、
&math(\delta_{ij}=\left\{\begin{array}{ll} 1 & (i=j)\\ 0 & (i\ne j) \end{array}\right .);
正規直交系は一次独立である†
とすると、左から を掛けることで、
&math( (左辺) &=\Big(\bm e_j,\sum_{i=1}^nc_i\bm e_i\Big)\\ &=\Big(\bm e_j,\sum_{i=1}^nc_i\bm e_i\Big)\\ &=\sum_{i=1}^nc_i\left(\bm e_j,\bm e_i\right)\\ &=\sum_{i=1}^nc_i\delta_{ij}\\ &=c_j );
一方
&math( (右辺)=(\bm e_j,\bm 0)=0 );
したがって、任意の に対して
正規直交基底†
ある基底が正規直交系を為すとき、正規直交基底と呼ぶ。
内積の成分表示†
[Math Conversion Error]
、 とすると、
&math( (\bm x,\bm y)&=\Big(\sum_{i=0}^n x_i\bm e_i,\bm y\Big)\\ &=\sum_{i=1}^n\overline x_i\Big(\bm e_i, \sum_{j=1}^n y_j\bm e_j\Big)\\ &=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\overline x_iy_j(\bm e_i, \bm e_j)\\ &=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\overline x_iy_j\delta_{ij}\\ &=\sum_{i=1}^n\overline x_iy_i );
を得る。
一方、1年生の時に学んだ 次元実ベクトル空間 における標準内積は
&math( (\bm x,\bm y)=\sum_{i=1}^nx_iy_i );
であった。これに対して、 次元複素数ベクトル空間 における標準内積は
&math( (\bm x,\bm y)=\sum_{i=1}^n\overline x_iy_i );
と定義される。
すなわち、正規直交基底での内積の成分表示は「標準内積」となる
エルミート共役†
行列 に対して、
- 転置行列:
- 複素共役:
- エルミート共役:
とくに、列ベクトル に対しては、
- 転置:
- 複素共役:
- エルミート共役:
エルミート共役は、次の性質を持つ。
対称行列、直交行列 と エルミート行列、ユニタリ行列†
が実行列のとき である。
実行列・ベクトルについて | 複素行列・ベクトルについて |
対称行列 | エルミート行列 |
直交行列 | ユニタリ行列 |
性質:
- 対称行列 について (実内積)
- エルミート行列 について (複素内積)
性質:
- 直交行列 により内積が保存される
- ユニタリ行列 により複素内積が保存される
正規行列†
を満たす行列を正規行列と呼ぶ。
実対称行列、実直交行列、エルミート行列、ユニタリ行列は正規行列であるが、他にもたくさんある。
1年生の時、直交行列により対角化可能な行列と、不可能な行列があることを学んだ。
実は「ユニタリ行列により対角化できること」と「正規行列であること」とは同値であるが、 ここでは証明しない。