一次元箱形障壁のトンネル/メモ の履歴(No.4)
更新目次†
1次元トンネル現象再考†
https://m-repo.lib.meiji.ac.jp/dspace/bitstream/10291/5021/1/kyouyoronshu_240_17.pdf
を参考にやってみる。
1次元のポテンシャルエネルギーを、 トンネル障壁部分以外で 0、 トンネル障壁部分で となるような、 矩形障壁のモデルを考え、 が負の無限大から正方向へ振幅1の平面波が入射する条件を考える。
距離 $d$ の伝播†
ポテンシャルエネルギー の領域における解は
と置ける。このとき、 および での波動関数を
と書こう。 , はそれぞれ における、波数 の成分と波数 の成分の値である。
上式から、
&math( \begin{cases} A_2=e^{ikd}A_1\\ B_2=e^{-ikd}B_1\\ \end{cases} );
の関係があり、これを
&math( \begin{pmatrix} A_2\\ B_2\\ \end{pmatrix}= \underbrace{ \begin{pmatrix} e^{ikd}&\\ &e^{-ikd}\\ \end{pmatrix}}_{d\,進んだことによる変化} \begin{pmatrix} A_1\\ B_1\\ \end{pmatrix} );
と書けることが分かる。
トンネル障壁†
位置 から始まる、 厚さ 高さ のトンネル障壁を考える。
障壁の直前・直後の 成分、 成分の値を および とする。
すなわち、障壁前後の波動関数を、
障壁前:
障壁後:
と置いたことになる。
障壁内での波動関数は
および障壁入射直後の 成分 を用いて
と表せるから、両端で障壁内外の波動関数がなめらかに接続する条件を次の4つの式で表せる。
(1)
(2)
(3)
(4)
(1), (2) より、 &math( \begin{pmatrix} 1&1\\ ik&-ik \end{pmatrix} \begin{pmatrix}A\\B\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1&1\\ \kappa&-\kappa \end{pmatrix} \begin{pmatrix}E\\F\end{pmatrix} );
(3), 42) より、 &math( \begin{pmatrix} e^{\kappa a}&e^{-\kappa a}\\ \kappa e^{\kappa a}&-\kappa e^{-\kappa a}\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix}E\\F\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1&1\\ \kappa&-\kappa\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e^{\kappa a}\\ &e^{-\kappa a}\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix}E\\F\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1&1\\ ik&-ik \end{pmatrix} \begin{pmatrix}C\\D\end{pmatrix} );
したがって、
&math( \begin{pmatrix}C\\D\end{pmatrix}= \underbrace{\begin{pmatrix} 1&1\\ ik&-ik \end{pmatrix}^{-1}}_{k,-k 成分に変換} \underbrace{\begin{pmatrix} 1&1\\ \kappa&-\kappa\\ \end{pmatrix}}_{\varphi,\varphi' に変換} \underbrace{\begin{pmatrix} e^{\kappa a}\\ &e^{-\kappa a}\\ \end{pmatrix}}_{a だけ伝播} \underbrace{\begin{pmatrix} 1&1\\ \kappa&-\kappa \end{pmatrix}^{-1}}_{\kappa,-\kappa 成分に変換} \underbrace{\begin{pmatrix} 1&1\\ ik&-ik \end{pmatrix}}_{\varphi,\varphi'に変換} \begin{pmatrix}A\\B\end{pmatrix} );
計算すると、
&math( \begin{pmatrix}C\\D\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}
\cosh(a \kappa)+i\frac{k^2-\kappa^2}{2 k \kappa} \sinh(a \kappa )&
- i\frac{k^2+\kappa^2}{2 k \kappa} \sinh (a \kappa)\\
i\frac{k^2+\kappa^2}{2 k \kappa} \sinh (a \kappa)& \cosh(a \kappa)-i\frac{k^2-\kappa^2}{2 k \kappa} \sinh(a \kappa )\\
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}A\\B\end{pmatrix} );
となる。この行列は
&math( \begin{pmatrix} s&-it\\ it&\overline s \end{pmatrix} );
の形をしているが( )、
&math( |s|^2&=\left|\cosh(a \kappa)+i\frac{k^2-\kappa^2}{2 k \kappa} \sinh(a \kappa)\right|^2\\ &=\cosh^2(a \kappa)+\left\{\frac{k^2-\kappa^2}{2 k \kappa}\right\}^2 \sinh^2(a \kappa)\\ &=1+\frac{4k^2\kappa^2+(k^2-\kappa^2)^2}{4 k^2 \kappa^2} \sinh^2(a \kappa)\\ &=1+\frac{(k^2+\kappa^2)^2}{4 k^2 \kappa^2} \sinh^2(a \kappa)\\ &=1+t^2 );
より、 の関係がある。
そこで、実数 を
( となる)
として導入すれば、
&math( |s|\begin{pmatrix} s/|s|&-it/|s|\\ it/|s|&\overline s/|s| \end{pmatrix}= \frac{1}{\sqrt{1-r^2}}\begin{pmatrix} e^{i\theta}&-ir\\ ir&e^{-i\theta} \end{pmatrix} );
となって、
&math( \begin{pmatrix}C\\D\end{pmatrix}= \frac{1}{\sqrt{1-r^2}}\begin{pmatrix} e^{i\theta}&-ir\\ ir&e^{-i\theta} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}A\\B\end{pmatrix} );
を得る。
トンネル問題を考え、 と置けば、
と求まり、
反射率:
透過率:
を得る。
ここから、 の物理的意味が分かる。
:
が反射率
障壁通過による位相の進み
以前の結果と比べると であり、
に対して、
となる。
2重トンネル†
厚さ の障壁が だけ間を置いて連続して2つあるとする。
1つ目の障壁直前を 、2つ目の障壁直後を とすれば、
&math( \begin{pmatrix}C\\D\end{pmatrix} &= \frac{1}{1-r^2} \begin{pmatrix} e^{i\theta}&-ir\\ ir&e^{-i\theta} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}e^{ikb}&\\&e^{-ikb}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} e^{i\theta}&-ir\\ ir&e^{-i\theta} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}A\\B\end{pmatrix}\\ &= \frac{1}{1-r^2} \begin{pmatrix} e^{ikb+i\theta}&-ire^{-ikb}\\ ire^{ikb}&e^{-ikb-i\theta} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e^{i\theta}&-ir\\ ir&e^{-i\theta} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}A\\B\end{pmatrix}\\ &= \frac{1}{1-r^2} \begin{pmatrix} e^{ikb+2i\theta}+r^2e^{-ikb}&
- ire^{ikb+i\theta}-ire^{-ikb-i\theta}\\ ire^{ikb+i\theta}+ire^{-ikb-i\theta}& r^2e^{ikb}+e^{-ikb-2i\theta} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}A\\B\end{pmatrix}\\ );
と置くと、
&math( |B|^2 &=r^2\left|\frac{e^{ikb+i\theta}+e^{-ikb-i\theta}}{r^2e^{ikb+i\theta}+e^{-ikb-i\theta}}\right|^2\\ &=\frac{4r^2\cos^2(kb+\theta)}{(1+r^2)^2\cos^2(kb+\theta)+(1-r^2)^2\sin^2(kb+\theta)}\\ );
より、透過率は
&math( |C|^2=1-|B|^2 &=\frac{(1+r^2)^2\cos^2(kb+\theta)+(1-r^2)^2\sin^2(kb+\theta)-4r^2\cos^2(kb+\theta)}{(1+r^2)^2\cos^2(kb+\theta)+(1-r^2)^2\sin^2(kb+\theta)}\\ &=\frac{(1-r^2)^2}{(1+r^2)^2\cos^2(kb+\theta)+(1-r^2)^2\sin^2(kb+\theta)}\\ &=\frac{1}{\left(\frac{1+r^2}{1-r^2}\right)^2\cos^2(kb+\theta)+\sin^2(kb+\theta)}\\ &=\frac{1}{\left[\left(\frac{1+r^2}{1-r^2}\right)^2-1\right]\cos^2(kb+\theta)+1}\\ );
となる。
この値は反射率が高く である場合にも、 すなわち の条件で透過率が 100% になることを示している。これが共鳴トンネルと呼ばれる現象である。
このとき、2つの障壁に挟まれた井戸の中での波動関数を
と置けば、
&math( &\begin{pmatrix}E\\F\end{pmatrix} =\frac{1}{\sqrt{1-r^2}} \begin{pmatrix} e^{i\theta}&-ir\\ ir&e^{-i\theta} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}= \frac{1}{\sqrt{1-r^2}} \begin{pmatrix} e^{i\theta}\\ir \end{pmatrix} );
より、
&math( &|\varphi(x)|^2=|Ee^{ik(x-a)}+Fe^{-ik(x-a)}|^2\\ &=\frac{1}{1-r^2}\Big[1-r^2
- ire^{i2k(x-a)+i\theta}
- ire^{-i2k(x-a)-i\theta} \Big]\\ &=1+\frac{2r}{1-r^2}\sin\{2k(x-a)+\theta\}\\ );
このとき、
&math( |\varphi(a)|^2=1+\frac{2r}{1-r^2}\sin\{\theta\} );
&math( |\varphi(a+b)|^2 &=1+\frac{2r}{1-r^2}\sin(2kb+\theta)\\ &=1+\frac{2r}{1-r^2}\sin\{2(kb+\theta)-\theta\}\\ &=1+\frac{2r}{1-r^2}\sin\{2\pi(n+1/2)-\theta\}\\ &=1+\frac{2r}{1-r^2}\sin\theta\\ );
となり、位相 だけ染み出すものの、 ほぼ井戸の両端でゼロになっている。
すなわち、共鳴トンネルは入射波エネルギーが 井戸の準定常状態のエネルギーと一致することが条件となっている。
が 番目の共振波長を に近いと近似してみると、
&math( |C|^2 &=\frac{1}{\left[\left(\frac{1+r^2}{1-r^2}\right)^2-1\right]\sin^2(b(k-k_n))+1}\\ &\sim\frac{1}{\left(\frac{1-r^2}{2br}\right)^{-2}(k-k_n)^2+1}\\ );
のようにローレンツ型の共振特性が得られる。
このときの半値幅は、&math( \Delta k=\frac{1-r^2}{br} ); となる。
反射率が高く のとき、
また、
&math( k-k_n&=\sqrt{2m\varepsilon/\hbar^2}-k_n\\ &=k_n\left(\sqrt{1+(\varepsilon-\varepsilon_n)/\varepsilon_n}-1\right)\\ &=k_n\big\{1+(\varepsilon-\varepsilon_n)/2\varepsilon_n-1\big\}\\ &=\frac{k_n}{2\varepsilon_n}(\varepsilon-\varepsilon_n)\\ );
より、
&math( |C|^2 &\sim\frac{1}{\left(\frac{1-r^2}{2r}\frac{2\varepsilon_n}{k_nb}\right)^{-2}(\varepsilon-\varepsilon_n)^2+1}\\ );
として、エネルギー表示においてもやはりローレンツ型の表示が可能である。
このときのエネルギー幅は、&math( \Delta \varepsilon =\frac{1-r^2}{br}\frac{2\varepsilon_n}{k_n} =\frac{1-r^2}{br}\sqrt{\frac{2\hbar^2\varepsilon_n}{m}} ); で、反射率が高いときには はほぼ透過率と等しくなるから、
&math(\Delta \varepsilon =\frac{2\varepsilon_n}{k_nb}(障壁1つあたりの透過率)^2 =\sqrt{\frac{2\hbar^2\varepsilon_n}{b^2m}}(障壁1つあたりの透過率)^2 );
となる。
これらのローレンツ型の式は、あくまで や が共振点に非常に近いことを前提としており、 の 依存性や、 などの1次近似の範囲内でのみ成立することに注意が必要である。
&math( (障壁1つあたりの透過率)=\frac{4\epsilon(V_0-\epsilon)}{V_0^2}\exp\left[-2a\sqrt{\frac{2m}{\hbar^2}(V_0-\varepsilon)}\right] );
なので、エネルギーが高くなればエネルギー幅は広くなる。
に対する透過率と、その際の の分布をプロットした。
透過率を に対する分布とすると次のようになる。
- 波数あるいはエネルギーが障壁に挟まれた領域のエネルギー準位に一致すると透過率が1になる
- ピークにおいて、障壁内部の確率密度はその両端でほぼゼロになる
- ピーク幅はエネルギーが高くなると広くなる
非対称2重トンネル†
&math( \begin{pmatrix}C\\D\end{pmatrix} &= \frac{1}{\sqrt{1-r^2}\sqrt{1-r'^2}} \begin{pmatrix} e^{i\theta}&-ir\\ ir&e^{-i\theta} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}e^{ikb}&\\&e^{-ikb}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} e^{i\theta'}&-ir'\\ ir'&e^{-i\theta'} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}A\\B\end{pmatrix}\\ &= \frac{1}{\sqrt{1-r^2}\sqrt{1-r'^2}} \begin{pmatrix} e^{ikb+i\theta}&-ire^{-ikb}\\ ire^{ikb}&e^{-ikb-i\theta} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e^{i\theta'}&-ir'\\ ir'&e^{-i\theta'} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}A\\B\end{pmatrix}\\ &= \frac{1}{\sqrt{1-r^2}\sqrt{1-r'^2}} \begin{pmatrix} e^{ikb+i(\theta+\theta')}+rr'e^{-ikb}&
- ir'e^{ikb+i\theta}-ire^{-ikb-i\theta'}\\ ire^{ikb+i\theta'}+ir'e^{-ikb-i\theta}& rr'e^{ikb}+e^{-ikb-i(\theta+\theta')} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}A\\B\end{pmatrix}\\ );
と置いて、
&math( |B|^2 &=\left|\frac{ire^{ikb+i\theta'}+ir'e^{-ikb-i\theta}}{rr'e^{ikb}+e^{-ikb-i(\theta+\theta')}} \right|^2\\ &=\left|\frac{re^{ikb+i(\theta+\theta')/2}+r'e^{-ikb-i(\theta+\theta')/2}} {rr'e^{ikb+i(\theta+\theta')/2}+e^{-ikb-i(\theta+\theta')/2}} \right|^2\\ &=\frac{(r+r')^2\cos^2\{kb+(\theta+\theta')/2\}+(r-r')^2\sin^2\{kb+(\theta+\theta')/2\}} {(rr'+1)^2\cos^2\{kb+(\theta+\theta')/2\}+(rr'-1)^2\sin^2\{kb+(\theta+\theta')/2\}}\\ &=\frac{\{(r+r')^2-(r-r')^2\}\cos^2\{kb+(\theta+\theta')/2\}+(r-r')^2} {\{(rr'+1)^2-(rr'-1)^2\}\cos^2\{kb+(\theta+\theta')/2\}+(rr'-1)^2}\\ &=\frac{4rr'\cos^2\{kb+(\theta+\theta')/2\}+(r-r')^2} {4rr'\cos^2\{kb+(\theta+\theta')/2\}+(1-rr')^2}\\ );
&math( |C|^2=1-|B|^2 &=\frac{(1-rr')^2-(r-r')^2} {4rr'\cos^2\{kb+(\theta+\theta')/2\}+(1-rr')^2}\\ &=\frac{1-2rr'+r^2r'^2-r^2+2rr'-r'^2} {4rr'\cos^2\{kb+(\theta+\theta')/2\}+(1-rr')^2}\\ &=\frac{(1-r^2)(1-r'^2)}{(1-rr')^2}\frac{1} {\left\{\frac{1-rr'}{2\sqrt{rr'}}\right\}^{-2}\cos^2\{kb+(\theta+\theta')/2\}+1}\\ );
この関数は の時に最大値
を取る。このとき、
&math( |\varphi(a)|^2=1+\frac{2r}{1-r^2}\sin\{\theta\} );
&math( |\varphi(a+b)|^2 &=1+\frac{2r}{1-r^2}\sin\theta'\\ );
であり、ピーク幅は、
&math( \frac{1-rr'}{b\sqrt{rr'}} );
となる。両側の反射率の相乗平均を取って とすると、
&math( \Delta k=\frac{1-r_\mathrm{mean}^2}{br_\mathrm{mean}} );
となり、対称な場合の結果と一致する。
対称2重トンネルの結果が、
&math( \Delta k=\frac{1}{b}(壁1枚の透過率)^2 );
だったのに、
&math( \Delta k\ne\frac{1}{b}(壁1の透過率)(壁2の透過率) );
なのは興味深い。
むしろ、対称な時を
&math( \Delta k=\frac{1}{b}\Big[1-(壁1枚の反射率)^2\Big] );
と書き、非対称なときに
&math( \Delta k=\frac{1}{b}\Big[1-(壁1の反射率)(壁2の反射率)\Big] );
と書けることが本質であるということか?
左右対称3重トンネル†
&math( &\begin{pmatrix}C\\D\end{pmatrix}\\ &= \frac{1}{\sqrt{1-r^2}(1-r'^2)} \begin{pmatrix} e^{i\theta'}&-ir'\\ ir'&e^{-i\theta'} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}e^{ikb}&\\&e^{-ikb}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} e^{i\theta}&-ir\\ ir&e^{-i\theta} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}e^{ikb}&\\&e^{-ikb}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} e^{i\theta'}&-ir'\\ ir'&e^{-i\theta'} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}A\\B\end{pmatrix}\\ &= \frac{1}{\sqrt{1-r^2}(1-r'^2)} \begin{pmatrix} e^{i\theta'}&-ir'\\ ir'&e^{-i\theta'} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}e^{ikb}&\\&e^{-ikb}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} e^{ikb+i(\theta+\theta')}+rr'e^{-ikb}&
- ir'e^{ikb+i\theta}-ire^{-ikb-i\theta'}\\ ire^{ikb+i\theta'}+ir'e^{-ikb-i\theta}& rr'e^{ikb}+e^{-ikb-i(\theta+\theta')} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}A\\B\end{pmatrix}\\ &= \frac{1}{\sqrt{1-r^2}(1-r'^2)} \begin{pmatrix} e^{i\theta'}&-ir'\\ ir'&e^{-i\theta'} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e^{2ikb+i(\theta+\theta')}+rr'&
- ir'e^{2ikb+i\theta}-ire^{-i\theta'}\\ ire^{i\theta'}+ir'e^{-2ikb-i\theta}& rr'+e^{-2ikb-i(\theta+\theta')} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}A\\B\end{pmatrix}\\ &= \frac{1}{\sqrt{\dots}(\dots)} \begin{pmatrix} e^{2ikb+i(\theta+2\theta')}+r'^2e^{-2ikb-i\theta}+2rr'e^{i\theta'}&
- ir'e^{2ikb+i(\theta+\theta')}-ir(1+r'^2)
- ir'e^{-2ikb-i(\theta+\theta')}\\ ir'e^{2ikb+i(\theta+\theta')}+ir(1+r'^2)+ir'e^{-2ikb-i(\theta+\theta')}& e^{-2ikb-i(\theta+2\theta')}+r'^2e^{2ikb+i\theta}+2rr'e^{-i\theta'} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}A\\B\end{pmatrix}\\ );
と置いて、
&math( |B|^2 &=\left|\frac{ir'e^{2ikb+i(\theta+\theta')}+ir(1+r'^2)+ir'e^{-2ikb-i(\theta+\theta')}} {e^{-2ikb-i(\theta+2\theta')}+r'^2e^{2ikb+i\theta}+2rr'e^{-i\theta'}}\right|^2\\ &=\frac{\big\{2r'\cos(2kb+\theta+\theta')+r(1+r'^2)\big\}^2} {\left|e^{-2ikb-i(\theta+\theta')}+r'^2e^{2ikb+i(\theta+\theta')}+2rr'\right|^2}\\ &=\frac{\big\{2r'\cos(2kb+\theta+\theta')+r(1+r'^2)\big\}^2} {\left|(1+r'^2)\cos(2kb+\theta+\theta')+2rr'+i(1-r'^2)\sin(kb+\theta+\theta')\right|^2}\\ &=\frac{\big\{2r'\cos(2kb+\theta+\theta')+r(1+r'^2)\big\}^2} {\big\{(1+r'^2)\cos(2kb+\theta+\theta')+2rr'\big\}^2+(1-r'^2)^2\sin^2(kb+\theta+\theta')}\\ &=\frac{\big\{2r'\cos(2kb+\theta+\theta')+r(1+r'^2)\big\}^2} {\big\{(1+r'^2)\cos(2kb+\theta+\theta')+2rr'\big\}^2+(1-r'^2)^2-(1-r'^2)^2\cos^2(kb+\theta+\theta')}\\ );
&math( (分母) =&(1+r'^2)^2\cos^2(2kb+\theta+\theta')+4rr'(1+r'^2)\cos(2kb+\theta+\theta')+4r^2r'^2+\\ &\ \ \ \ (1-r'^2)^2-(1-r'^2)^2\cos^2(kb+\theta+\theta')\\ =&4r'^2\cos^2(2kb+\theta+\theta')+4rr'(1+r'^2)\cos(2kb+\theta+\theta')+4r^2r'^2+(1-r'^2)^2\\ =&\big\{2r'^2\cos^2(2kb+\theta+\theta')+r(1+r'^2)\big\}^2-r^2(1+r'^2)^2+4r^2r'^2+(1-r'^2)^2\\ =&\big\{2r'^2\cos^2(2kb+\theta+\theta')+r(1+r'^2)\big\}^2-r^2(1-r'^2)^2+(1-r'^2)^2\\ =&\big\{2r'^2\cos^2(2kb+\theta+\theta')+r(1+r'^2)\big\}^2+(1-r^2)(1-r'^2)^2\\ );
&math( |C|^2=1-|B|^2 &=\frac{(1-r^2)(1-r'^2)^2} {\big\{2r'\cos(2kb+\theta+\theta')+r(1+r'^2)\big\}^2+(1-r^2)(1-r'^2)^2}\\ &=\frac{1} {\frac{4r'^2}{(1-r^2)(1-r'^2)^2}\big\{\cos(2kb+\theta+\theta')+\frac{r(1+r'^2)}{2r'}\big\}^2+1}\\ );
透過確率が1になるのは
&math( \cos(2kb+\theta+\theta')=-\frac{r(1+r'^2)}{2r'} );
は だから、 両側に比べてそこそこ中央が通りやすければ解がある。
その周辺に於いて、
&math( |C|^2 &=\frac{1} {\frac{4r'^2}{(1-r^2)(1-r'^2)^2}4b^2\left[1-\left(\frac{r(1+r'^2)}{2r'}\right)^2\right](k-k_n)^2+1}\\ &=\frac{1} {4b^2\frac{4r'^2-r^2(1+r'^2)^2}{(1-r^2)(1-r'^2)^2}(k-k_n)^2+1}\\ &=\frac{1} {4b^2\frac{(2r'-r-rr'^2)(2r'+r+rr'^2)}{(1-r^2)(1-r'^2)^2}(k-k_n)^2+1}\\ );
だから、ピーク幅は
&math( \Delta k=\frac{\sqrt{(1-r^2)}(1-r'^2)}{b\sqrt{(2r'-r-rr'^2)(2r'+r+rr'^2)}} );
となる。