反射率・透過率とエバネッセント波 の履歴(No.7)

波動方程式†

電荷や電流の存在しない媒質中のマクスウェル方程式より、

　
　

第２式を変形して、

　

　&math( &(\partial/\partial t)(1/\mu)\bm\nabla\times \bm B =\varepsilon(\partial/\partial t)^2\bm E\\ &=(1/\mu)\bm\nabla\times (\partial/\partial t)\bm B =-(1/\mu)\bm\nabla\times \bm\nabla\times \bm E =-(1/\mu)\bigl[\bm\nabla(\underbrace{\bm\nabla\cdot\bm E}_{=0})-\nabla^2\bm E\bigr] =(1/\mu)\nabla^2\bm E );

したがって、

　&math( \mu\varepsilon(\partial/\partial t)^2\bm E=\nabla^2\bm E );

これが電磁波の満たすべき波動方程式である。

波数・振動数の関係†

上記のような平面波を仮定すれば、

　

が得られ、すなわち、

　

を満たす限り、上記のような平面波は電磁波の波動方程式の解となることが分かる。

平面波の位相速度†

平面波の位相部分を、

　&math( \exp\bigl[i(\bm k\cdot \bm r-\omega t)\bigr]= \exp\bigl[ik\{\bm e_k\cdot \bm r-(\omega/k) t\}\bigr]= \exp\bigl[ik\{\bm e_k\cdot (\bm r-\underbrace{(\omega/k)\bm e_k}_{\displaystyle\bm v} t)\}\bigr] );

のように書き直せば、平面波は 方向に速度 で移動することが分かる。

上記の関係式より、この速度は

　

と表せる。

ここで、屈折率は真空中と媒質中との速度の比であるから、

　

と書ける。

電場・磁場・波数の関係†

マクスウェル方程式より、

　
　
　

が導かれ、このとき であることは明らか。

また、

　

　

より、 、 である。

境界条件†

での境界条件は、

1. より、 の面直成分は連続
2. より、 の面直成分は連続
3. より、 の面内成分は連続
4. より、 の面内成分は連続

である。

${\mathbf{E}}$ の面内成分連続より、$k_x,k_y,\omega$ は共通†

3. より、 成分について以下が成り立つ。

　

　

これらの式は を満たす限り任意の に対して成り立たなければならない。

ここで、 では が 軸に平行であることになってしまい、 より、 の 成分がゼロとなって の仮定に反する。

つまり、少なくとも のどちらかはゼロではない。

すると、そのゼロでない方の条件式を の関数として見ると次の形をしている。

　

変形して、

　

である限り、この条件式は任意の で成り立たたなければならない。 そこで両辺を で微分すると、

　

　

この左辺は定数であるが、右辺は あるいは でない限り とともに変化してしまう。

であれば、微分する前の条件式に代入して、

　

　

この左辺は非ゼロの定数であるが、右辺がそのような定数となるためには でなければならず、 が得られる。

一方、 であるなら であるが、 では となってしまい条件を満たさないから、 少なくとも あるいは のどちらかが 成り立たなければならない。このとき上と同様にして、 が得られる。

いずれの場合にも となるから、 軸方向の波数成分はすべて等しいことが分かる。

同様の議論から、 、 が得られ、 透過波、反射波とも入射面内を進むこと、角振動数が等しいこと、が分かる。

スネルの法則†

が共通であることと、 などの関係から、

　

を得る。

の関係式より、 同じ媒質中を進む入射波と反射波の角振動数が同じであればその波数も等しく、 であるから、

　

すなわち、入射角と反射角とは等しいことが分かる。

一方で、

　

　

　

　

これはスネルの法則と呼ばれる。

偏波成分†

電場係数を 偏光成分と 偏光成分とに分ける。

　

　

　

すると、

　&math( &\bm B_0=-\frac{1}{\omega}\bm k\times\bm E_0=-\frac{k}{\omega}\bm e_k\times\bm E_0\\ &\bm e_k\times\bm E_0=\begin{pmatrix} \sin\theta\\0\\-\cos\theta \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} E_x\\E_y\\E_z \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} E_y\cos\theta\\

• E_x\cos\theta-E_z\sin\theta\\ E_y\sin\theta \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} E_s\cos\theta\\
• E_p\\ E_s\sin\theta \end{pmatrix}\\ &\bm B_0=\frac{k}{\omega}\begin{pmatrix}
• E_s\cos\theta\\ E_p\\
• E_s\sin\theta \end{pmatrix} );

ただし、

　&math( &\bm e_{k''}\times\bm R_0=\begin{pmatrix} \sin\theta\\0\\\cos\theta \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} R_x\\R_y\\R_z \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}

• R_y\cos\theta\\ R_x\cos\theta-R_z\sin\theta\\ R_y\sin\theta \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}
• R_s\cos\theta\\ R_p\\ R_s\sin\theta \end{pmatrix}\\ );

境界条件を解く†

1. の面直成分連続より、

　&math(

• \frac{k}{\omega}E_s\sin\theta
• \frac{k}{\omega}R_s\sin\theta =
• \frac{k'}{\omega}T_s\sin\theta' );

より、

　

2. の面直成分連続より、

　&math( \varepsilon E_p\sin\theta

• \varepsilon R_p\sin\theta = \varepsilon' T_p\sin\theta' );

3. の面内成分連続より、

　&math( E_p\cos\theta

1. R_p\cos\theta = T_p\cos\theta' );

　

4. の面内成分連続より、

　&math(

• \frac{k}{\mu\omega}E_s\cos\theta

1. \frac{k}{\mu\omega}R_s\cos\theta =

• \frac{k'}{\mu'\omega}T_s\cos\theta' );

　&math( \frac{k}{\mu\omega}E_p

• \frac{k}{\mu\omega}R_p = \frac{k'}{\mu'\omega}T_p );

全て合わせると、

　&math( \begin{cases} \varepsilon \sin\theta(E_p-R_p)=\varepsilon' T_p\sin\theta'\\ \cos\theta(E_p+R_p)=T_p\cos\theta'\\ \frac{k}{\mu}(E_p-R_p)=\frac{k'}{\mu'}T_p\\ E_s+R_s=T_s\\ \frac{k}{\mu}\cos\theta(-E_s+R_s)=-\frac{k'}{\mu'}T_s\cos\theta'\\ \end{cases} );

より、 を使うと１番目の式は、

　&math( \sqrt{\frac{\varepsilon}{\mu}}(E_p-R_p)=\sqrt{\frac{\varepsilon'}{\mu'}}T_p );

より、 を使うと３番目の式は、

　&math( \sqrt{\frac{\varepsilon}{\mu}}(E_p-R_p)=\sqrt{\frac{\varepsilon'}{\mu'}}T_p );

で同じ式になる。

などを使うと、

　

これと３番目の式を連立させて、

　

　

３番目の式へ代入して、

　&math( &\frac{k}{\mu}\left(1-\frac{-\mu k'^2k_z+\mu'k^2k_z'}{\mu k'^2k_z+\mu'k^2k_z'}\right)E_p=\frac{k'}{\mu'}T_p\\ &T_p=\frac{\mu'k}{\cancel\mu\cancel{k'}}\frac{2\cancel\mu k'^{\cancel{2}}k_z}{\mu k'^2k_z+\mu'k^2k_z'}E_p\\ &T_p=\frac{2\mu'kk'k_z}{\mu k'^2k_z+\mu'k^2k_z'}E_p\\ );

同様に、５番目の式から

　&math( \frac{\cancel k}{\mu}\frac{k_z}{\cancel k}(-E_s+R_s)=-\frac{\cancel k'}{\mu'}\frac{k_z'}{\cancel k'}T_s\\ );

４番目の式と連立させて、

　

　

４番目の式へ代入して、

　&math( &\left(1+\frac{\mu'k_z-\mu k_z'}{\mu'k_z+\mu k_z'}\right)E_s=T_s\\ &T_s=\frac{2\mu'k_z}{\mu'k_z+\mu k_z'}E_s\\ );

まとめると、

　&math( &R_p=\frac{\mu'k^2k_z'-\mu k'^2k_z}{\mu'k^2k_z'+\mu k'^2k_z}E_p\\ &T_p=\frac{2\mu'kk'k_z}{\mu'k^2k_z'+\mu k'^2k_z}E_p\\ &R_s=\frac{\mu'k_z-\mu k_z'}{\mu'k_z+\mu k_z'}E_s\\ &T_s=\frac{2\mu'k_z}{\mu'k_z+\mu k_z'}E_s\\ );

さらに を使えば、

　&math( &R_p=\frac{\varepsilon k_z'-\varepsilon'k_z}{\varepsilon k_z'+\varepsilon'k_z}E_p\\ &T_p=\frac{k'}{k}\frac{2\varepsilon k_z}{\varepsilon k_z'+\varepsilon'k_z}E_p\\ &R_s=\frac{\mu'k_z-\mu k_z'}{\mu'k_z+\mu k_z'}E_s\\ &T_s=\frac{2\mu'k_z}{\mu'k_z+\mu k_z'}E_s\\ );

を得る。ああ、こうしておいた方がキレイかな。

　&math( &R_p=\frac{k_z'/\varepsilon'-k_z/\varepsilon}{k_z'/\varepsilon'+k_z/\varepsilon}E_p\\ &T_p=\frac{k'/\varepsilon'}{k/\varepsilon}\frac{2k_z/\varepsilon}{k_z'/\varepsilon'+k_z/\varepsilon}E_p\\ &R_s=\frac{k_z/\mu-k_z'/\mu'}{k_z/\mu+k_z'/\mu'}E_s\\ &T_s=\frac{2k_z/\mu}{k_z/\mu+k_z'/\mu'}E_s\\ );

エネルギーおよび運動量の保存†

振幅反射率
振幅透過率

などと置くと、

　

　

となっている。

これは、電磁波により単位時間に運ばれるエネルギーや運動量が ではなく、 ポインティングベクトル と断面積との積に比例するためである。

　&math( |\bm E\times\bm H|= \left|-\frac{k}{\mu\omega}\begin{pmatrix} E_p \cos\theta\\E_s\\E_p\sin\theta \end{pmatrix}\times\begin{pmatrix} E_s \cos\theta\\-E_p\\E_s\sin\theta \end{pmatrix}\right|= \sqrt\frac{\varepsilon}{\mu}\begin{vmatrix} (E_s^2+E_p^2)\sin\theta\\ \cancel{E_pE_s\cos\theta\sin\theta}-\cancel{E_pE_s\cos\theta\sin\theta}\\

• (E_s^2+E_p^2)\cos\theta\\ \end{vmatrix}= \sqrt\frac{\varepsilon}{\mu}(E_s^2+E_p^2) );

であり、界面上の単位面積に相当する、 だけ傾いたビームの断面積は となるから、

　

が、正しいエネルギー＆運動量保存の式となる。

そこで、

　&math( &\cos\theta\sqrt\frac{\varepsilon}{\mu}\left(\frac{\varepsilon k_z'-\varepsilon'k_z}{\varepsilon k_z'+\varepsilon'k_z}\right)^2+ \cos\theta'\sqrt\frac{\varepsilon'}{\mu'}\left(\frac{k'}{k}\frac{2\varepsilon k_z}{\varepsilon k_z'+\varepsilon'k_z}\right)^2 =\cos\theta\sqrt\frac{\varepsilon}{\mu}\\ &\left(\frac{\varepsilon k_z'-\varepsilon'k_z}{\varepsilon k_z'+\varepsilon'k_z}\right)^2+ \frac{\cos\theta'}{\cos\theta}\sqrt\frac{\mu\varepsilon'}{\mu'\varepsilon}\frac{k'^2}{k^2}\frac{\varepsilon k_z}{\varepsilon'k_z'} \frac{4\varepsilon k_z\varepsilon' k_z'}{\left(\varepsilon k_z'+\varepsilon'k_z\right)^2} =1\\ &\left(\frac{\varepsilon k_z'-\varepsilon'k_z}{\varepsilon k_z'+\varepsilon'k_z}\right)^2+ \frac{4\varepsilon k_z\varepsilon' k_z'}{\left(\varepsilon k_z'+\varepsilon'k_z\right)^2} =1\\ );

および、

　&math( &\cos\theta\sqrt\frac{\varepsilon}{\mu}\left(\frac{\mu'k_z-\mu k_z'}{\mu'k_z+\mu k_z'}\right)^2+ \cos\theta'\sqrt\frac{\varepsilon'}{\mu'}\left(\frac{2\mu'k_z}{\mu'k_z+\mu k_z'}\right)^2 =\cos\theta\sqrt\frac{\varepsilon}{\mu}\\ &\left(\frac{\mu'k_z-\mu k_z'}{\mu'k_z+\mu k_z'}\right)^2+ \frac{\cos\theta'}{\cos\theta}\sqrt\frac{\mu\varepsilon'}{\mu'\varepsilon} \frac{\mu'k_z}{\mu k_z'} \frac{4\mu\mu'k_zk_z'}{\left(\mu'k_z+\mu k_z'\right)^2} =1\\ &\left(\frac{\mu'k_z-\mu k_z'}{\mu'k_z+\mu k_z'}\right)^2+ \frac{4\mu\mu'k_zk_z'}{\left(\mu'k_z+\mu k_z'\right)^2} =1\\ );

として、保存則が成立していることを確かめられる。

反射率と透過率†

同じ境界面へ同じ光路を通って反対向きに入射する場合の透過率を 、 反射率を とすると、

ちょうどうまく

　

　

を満たすという関係がある。

透磁率が共通の場合†

　&math( &r_p=\frac{k_z'-\varepsilon^*k_z}{k_z'+\varepsilon^*k_z}\\ &t_p=\frac{k'}{k}\frac{2k_z}{k_z'+\varepsilon^*k_z}\\ &r_s=\frac{k_z-k_z'}{k_z+k_z'}\\ &t_s=\frac{2k_z}{k_z+k_z'}\\ );

ただし、

　

　

　

　

下では、 として、 に対して

　　
　　

をプロットした。

右上はよく知られる 偏光と 偏光の反射強度のグラフになっている。

左上を見ると、 偏光の反射強度になぜディップが現れ、 偏光の反射強度になぜディップが現れないかが分かる。 偏光のカーブがゼロをまたぐのがディップの原因になっている。

LANG:mathematica
Module[{rp, tp, rs, ts, n12, k2, kz, kz2},
 n12 = 1.5;
 k2 = n12;
 kz = Cos[\[Theta] Pi/180];
 kz2 = Sqrt[k2^2 - Sin[\[Theta] Pi/180]^2];
 rp = (kz2 - n12^2 kz)/(kz2 + n12^2 kz);
 tp = k2 2 kz/(kz2 + n12^2 kz);
 rs = (kz - kz2)/(kz + kz2);
 ts = 2 kz/(kz + kz2);
 GraphicsGrid[{{
    Plot[{rp, rs}, {\[Theta], 0, 90}, PlotRange -> {{0, 90}, {-1, 1}}],
    Plot[{Abs[rp]^2, Abs[rs]^2}, {\[Theta], 0, 90}, 
     PlotRange -> {0, 1}]
    }, {
    Plot[{tp, ts}, {\[Theta], 0, 90}],
    Plot[{Abs[tp]^2, Abs[ts]^2}, {\[Theta], 0, 90}, 
     PlotRange -> {0, 1}]
    }}]
 ]