線形代数Ｉ/教科書問/１．６ の履歴(No.7)

問１．６†

の原点を通る平面状に２組の基底 をとる。

と表すとき、行列 は 逆行列を持つことを示せ。

回答†

与式を変形し、行列が逆行列を持たない場合、つまり のときに が線形従属となり、基底を為すとした仮定と矛盾することを導く。

（１） のとき、

となり、 のときこの式は

で、 が一次従属であることを示す。

（２） のとき、

さらに場合分けして、（２．１） のとき、

となる。

ここで と置くと、 より となって、

が導かれる。

（２．２） のとき、 となるが、 ゼロベクトルを含むベクトルの組は明らかに線形従属となる。

コメント†

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