線形代数Ｉ/小テスト/2006-06-01 の変更点

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[[線形代数Ｉ]]

* 問１ [#o987211d]

次の行列の行列式を、列基本変形による三角化を使って求めよ。

&math(\left[ \begin{array}{ccc} 1&3&2 \\ 3&2&4 \\ 2&1&2 \end{array} \right]);

* 解答１ [#p42cdb00]

行方向の基本変形を使い下三角行列にする。

&math(\left| \begin{array}{ccc} 1&3&2 \\ 3&2&4 \\ 2&1&2 \end{array} \right|);

１列目の３倍を２列目から、２倍を３列目から引く。

&math(= \left| \begin{array}{ccc} 1&0&0 \\ 3&-7&-2 \\ 2&-5&-2 \end{array} \right|);

２列目２行目の成分 -7 が嫌なので、３列目の３倍を２列目から引く。

&math(= \left| \begin{array}{ccc} 1&0&0 \\ 3&-1&-2 \\ 2&1&-2 \end{array} \right|);

２列目の２倍を３列目から引く。

&math(= \left| \begin{array}{ccc} 1&0&0 \\ 3&-1&0 \\ 2&1&-4 \end{array} \right|);

このように対角成分よりも上がすべてゼロである行列を下三角行列と呼ぶ。

三角行列の行列式は対角成分の積となるので、

&math(= 1 \times -1 \times -4 = 4);

として良い。

なぜなら、対角行列をさらに以下のように変形できることは自明であるため。

３列目を使って１列目、２列目の３行目をゼロにする。（それぞれ 1/2, 1/4 を掛けて足せば良い）

&math(= \left| \begin{array}{ccc} 1&0&0 \\ 3&-1&0 \\ 0&0&-4 \end{array} \right|);

２列目を使って１列目の２行目をゼロにする。（３を掛けて足せば良い）

&math(= \left| \begin{array}{ccc} 1&0&0 \\ 0&-1&0 \\ 0&0&-4 \end{array} \right|);

２列目の -1 を外に出す。

&math(= (-1) \left| \begin{array}{ccc} 1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&-4 \end{array} \right|);

３列目の -4 を外に出す。

&math(= (-1 \times -4) \left| \begin{array}{ccc} 1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&1 \end{array} \right|);

単位行列の行列式は１である。

&math(= -1 \times -4 = 4);

このようにして得られる答えが三角行列の対角成分の積と同じ値になることは自明である。

* 問２ [#ydd56619]

次の行列の行列式を、列ベクトルを標準基底により展開する方法で求めよ。（転置行列の行列式は
元の行列式と等しくなるはずである）

(1) &math(\left[ \begin{array}{ccc} a&b&c \\ d&e&f \\ g&h&i \end{array} \right]);

(2) &math(\left[ \begin{array}{ccc} a&d&g \\ b&e&h \\ c&f&i \end{array} \right]);

* 解答２ [#l3f30c49]

(1) &math(\left| \begin{array}{ccc} a&b&c \\ d&e&f \\ g&h&i \end{array} \right| .);

&math(= \left| \begin{array}{ccc} a \left( \begin{array}{c} 1\\0\\0 \end{array} \right) + d \left( \begin{array}{c} 0\\1\\0 \end{array} \right) + g \left( \begin{array}{c} 0\\0\\1 \end{array} \right) & \left( \begin{array}{c} b\\e\\h \end{array} \right) & \left( \begin{array}{c} c\\f\\i \end{array} \right) \end{array} \right|);

&math(= a \left| \begin{array}{ccc} 1&b&c \\ 0&e&f \\ 0&h&i \end{array} \right| + d \left| \begin{array}{ccc} 0&b&c \\ 1&e&f \\ 0&h&i \end{array} \right| + g \left| \begin{array}{ccc} 0&b&c \\ 0&e&f \\ 1&h&i \end{array} \right|);

&math(= a \left| \begin{array}{ccc} \left( \begin{array}{c} 1\\0\\0 \end{array} \right) & b \left( \begin{array}{c} 1&0&0 \end{array} \right) + e \left( \begin{array}{c} 0\\1\\0 \end{array} \right) + h \left( \begin{array}{c} 0\\0\\1 \end{array} \right) & \left( \begin{array}{c} c\\f\\i \end{array} \right) \end{array} \right|);
&math(+ d \left| \begin{array}{ccc} \left( \begin{array}{c} 0\\1\\0 \end{array} \right) & b \left( \begin{array}{c} 1&0&0 \end{array} \right) + e \left( \begin{array}{c} 0\\1\\0 \end{array} \right) + h \left( \begin{array}{c} 0\\0\\1 \end{array} \right) & \left( \begin{array}{c} c\\f\\i \end{array} \right) \end{array} \right|);
&math(+ g \left| \begin{array}{ccc} \left( \begin{array}{c} 0\\0\\1 \end{array} \right) & b \left( \begin{array}{c} 1&0&0 \end{array} \right) + e \left( \begin{array}{c} 0\\1\\0 \end{array} \right) + h \left( \begin{array}{c} 0\\0\\1 \end{array} \right) & \left( \begin{array}{c} c\\f\\i \end{array} \right) \end{array} \right|);

同じ列ベクトルを含む行列の行列式はゼロなので、

&math(= a \left| \begin{array}{ccc} \left( \begin{array}{c} 1\\0\\0 \end{array} \right) & e \left( \begin{array}{c} 0\\1\\0 \end{array} \right) + h \left( \begin{array}{c} 0\\0\\1 \end{array} \right) & \left( \begin{array}{c} c\\f\\i \end{array} \right) \end{array} \right|);
&math(+ d \left| \begin{array}{ccc} \left( \begin{array}{c} 0\\1\\0 \end{array} \right) & b \left( \begin{array}{c} 1&0&0 \end{array} \right) + h \left( \begin{array}{c} 0\\0\\1 \end{array} \right) & \left( \begin{array}{c} c\\f\\i \end{array} \right) \end{array} \right|);
&math(+ g \left| \begin{array}{ccc} \left( \begin{array}{c} 0\\0\\1 \end{array} \right) & b \left( \begin{array}{c} 1&0&0 \end{array} \right) + e \left( \begin{array}{c} 0\\1\\0 \end{array} \right) & \left( \begin{array}{c} c\\f\\i \end{array} \right) \end{array} \right|);

展開すると（汗

&math(= ae \left| \begin{array}{ccc} 1&0&c \\ 0&1&f \\ 0&0&i \end{array} \right|);
&math(+ ah \left| \begin{array}{ccc} 1&0&c \\ 0&0&f \\ 0&1&i \end{array} \right|);
&math(+ db \left| \begin{array}{ccc} 0&1&c \\ 1&0&f \\ 0&0&i \end{array} \right|);
&math(+ dh \left| \begin{array}{ccc} 0&0&c \\ 1&0&f \\ 0&1&i \end{array} \right|);
&math(+ gb \left| \begin{array}{ccc} 0&1&c \\ 0&0&f \\ 1&0&i \end{array} \right|);
&math(+ ge \left| \begin{array}{ccc} 0&0&c \\ 0&1&f \\ 1&0&i \end{array} \right|);

さらに３列目を展開するのだが、以下のように列の値が同じになると行列式がゼロになることを
利用しないと大変なことになる。

&math(= ae \left| \begin{array}{ccc} \left( \begin{array}{c} 1\\0\\0 \end{array} \right) & \left( \begin{array}{c} 0\\1\\0 \end{array} \right) & c \left( \begin{array}{c} 1\\0\\0 \end{array} \right) + f \left( \begin{array}{c} 0\\1\\0 \end{array} \right) + i \left( \begin{array}{c} 0\\0\\1 \end{array} \right) \end{array} \right|); ~
&math(+ ah \left| \begin{array}{ccc} 1&0&c \\ 0&0&f \\ 0&1&i \end{array} \right|);
&math(+ db \left| \begin{array}{ccc} 0&1&c \\ 1&0&f \\ 0&0&i \end{array} \right|);
&math(+ dh \left| \begin{array}{ccc} 0&0&c \\ 1&0&f \\ 0&1&i \end{array} \right|);
&math(+ gb \left| \begin{array}{ccc} 0&1&c \\ 0&0&f \\ 1&0&i \end{array} \right|);
&math(+ ge \left| \begin{array}{ccc} 0&0&c \\ 0&1&f \\ 1&0&i \end{array} \right|);

&math(ae); の項の 第１項、第２項がゼロになる。したがって、

&math(= aei \left| \begin{array}{ccc} 1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&1 \end{array} \right|);
&math(+ ah \left| \begin{array}{ccc} 1&0&c \\ 0&0&f \\ 0&1&i \end{array} \right|);
&math(+ db \left| \begin{array}{ccc} 0&1&c \\ 1&0&f \\ 0&0&i \end{array} \right|);
&math(+ dh \left| \begin{array}{ccc} 0&0&c \\ 1&0&f \\ 0&1&i \end{array} \right|);
&math(+ gb \left| \begin{array}{ccc} 0&1&c \\ 0&0&f \\ 1&0&i \end{array} \right|);
&math(+ ge \left| \begin{array}{ccc} 0&0&c \\ 0&1&f \\ 1&0&i \end{array} \right|);

他の項も同様にして、

&math(= aei \left| \begin{array}{ccc} 1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&1 \end{array} \right|);
&math(+ ahf \left| \begin{array}{ccc} 1&0&0 \\ 0&0&1 \\ 0&1&0 \end{array} \right|);
&math(+ dbi \left| \begin{array}{ccc} 0&1&0 \\ 1&0&0 \\ 0&0&1 \end{array} \right|);
&math(+ dhc \left| \begin{array}{ccc} 0&0&1 \\ 1&0&0 \\ 0&1&0 \end{array} \right|);
&math(+ gbf \left| \begin{array}{ccc} 0&1&0 \\ 0&0&1 \\ 1&0&0 \end{array} \right|);
&math(+ gec \left| \begin{array}{ccc} 0&0&1 \\ 0&1&0 \\ 1&0&0 \end{array} \right|);

元の行列が

&math(\left[ \begin{array}{ccc} a&b&c \\ d&e&f \\ g&h&i \end{array} \right]);

であることに注意すると、出来上がった式は、各列から１つずつ、他の列と重複しない行の成分を
抜き出して積を作り（&math(aei); などの部分）、それに、抜き出した成分の位置だけに１を
立てた行列 （たとえば&math(\left[ \begin{array}{ccc} 1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&1 \end{array} \right]);） の行列式を掛けた形の和になっている。

ここで、&math(\left| \begin{array}{ccc} 1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&1 \end{array} \right|=1); 
となるのは定義から明らかであるが、他の行列式の値はどうなるであろうか？

たとえば、

&math(\left| \begin{array}{ccc} 1&0&0 \\ 0&0&1 \\ 0&1&0 \end{array} \right|);

は、２列目と３列目とを入れ替えれば単位行列になるから、

&math(\left| \begin{array}{ccc} 1&0&0 \\ 0&0&1 \\ 0&1&0 \end{array} \right|=-\left| \begin{array}{ccc} 1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&1 \end{array} \right|=-1);

である。

同様にして、「何回列を入れ替えたら単位行列にできるか」を数えることにより、

&math(= aei-ahf-dbi+dhc+gbf-gec);

を得る。

(2) 上記と同様にして、

&math(= aei \left| \begin{array}{ccc} 1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&1 \end{array} \right|);
&math(+ afh \left| \begin{array}{ccc} 1&0&0 \\ 0&0&1 \\ 0&1&0 \end{array} \right|);
&math(+ bdi \left| \begin{array}{ccc} 0&1&0 \\ 1&0&0 \\ 0&0&1 \end{array} \right|);
&math(+ bfg \left| \begin{array}{ccc} 0&0&1 \\ 1&0&0 \\ 0&1&0 \end{array} \right|);
&math(+ cdh \left| \begin{array}{ccc} 0&1&0 \\ 0&0&1 \\ 1&0&0 \end{array} \right|);
&math(+ ceg \left| \begin{array}{ccc} 0&0&1 \\ 0&1&0 \\ 1&0&0 \end{array} \right|);

&math(= aei-afh-bdi+bfg+cdh-ceg );

を得る。

これは、(1) で得た結果と等しい。

すなわち、３次の正方行列について、&math(|^tA|=|A|); であることが証明された。

* コメント [#i4d163d4]

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