スピントロニクス理論の基礎/8-6

(2186d) 更新

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8-6 実際の時刻で表した Green 関数

τ表示から t 表示への変換:lesser

(8.65) これは (8.56), (8.57) でやった内容。

(8.66), (8.67), (8.68)

&G(\bm r,\tau\in C_\rightarrow,\bm r',\tau'\in C_\leftarrow)\\ &=-\frac{i}{\red\hbar}\Big[\theta(\tau-\tau')\langle U_{C_\beta}c_\mathrm H(\bm r,\tau)c_\mathrm H^\dagger(\bm r',\tau')\rangle -\theta(\tau'-\tau)\langle U_{C_\beta}c_\mathrm H^\dagger(\bm r',\tau')c_\mathrm H(\bm r,\tau)\rangle\Big]\\ &=-\frac{i}{\red\hbar}\Big[\hspace{7mm}0\hspace{7mm}\langle U_{C_\beta}c_\mathrm H(\bm r,\tau)c_\mathrm H^\dagger(\bm r',\tau')\rangle -\hspace{7mm}1\hspace{7mm}\langle U_{C_\beta}c_\mathrm H^\dagger(\bm r',\tau')c_\mathrm H(\bm r,\tau)\rangle\Big]\\ &=\frac{i}{\red\hbar}\langle U_{C_\beta}c_\mathrm H^\dagger(\bm r',\tau')c_\mathrm H(\bm r,\tau)\rangle\\

=\frac{i}{\red\hbar}\llangle c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t')c_\mathrm H(\bm r,t)\rrangle\equiv G^<(\bm r,t,\bm r',t')

\tau\in C_\rightarrow,\tau'\in C_\leftarrow では、 \tau'>\tau であることに注意。
これを lesser Green 関数と呼ぶ。

τ表示から t 表示への変換:greater

同様に、

&G(\bm r,\tau\in C_\leftarrow,\bm r',\tau'\in C_\rightarrow)\\ &=-\frac{i}{\red\hbar}\Big[\theta(\tau-\tau')\langle U_{C_\beta}c_\mathrm H(\bm r,\tau)c_\mathrm H^\dagger(\bm r',\tau')\rangle -\theta(\tau'-\tau)\langle U_{C_\beta}c_\mathrm H^\dagger(\bm r',\tau')c_\mathrm H(\bm r,\tau)\rangle\Big]\\ &=-\frac{i}{\red\hbar}\langle U_{C_\beta}c_\mathrm H(\bm r,\tau)c_\mathrm H^\dagger(\bm r',\tau')\rangle\\

=-\frac{i}{\red\hbar}\llangle c_\mathrm H(\bm r,t)c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t')\rrangle\equiv G^>(\bm r,t,\bm r',t')

\tau\in C_\leftarrow,\tau'\in C_\rightarrow では、 \tau>\tau' であることに注意。
これを greater Green 関数と呼ぶ。

Green 関数の性質1

このように経路 C 上の G は Dyson 方程式 (8.63) を満たし、それを実の時間上に射影すると G^t,G^{\overline t},G^<,G^> の4つの成分が現れる。ただし、 G^<,G^> それら自身は本来の意味での Green にはなっていない(実時間上の Dyson 方程式を満たさない) ことに注意が必要である。

(8.69)

G^r(\bm r,t,\bm r',t')-G^a(\bm r,t,\bm r',t')

=-\frac{i}{\red\hbar}\theta(t-t')\llangle \{c_\mathrm H(\bm r,t),c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t')\}\rrangle -\frac{i}{\red\hbar}\theta(t'-t)\llangle \{c_\mathrm H(\bm r,t),c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t')\}\rrangle

=-\frac{i}{\red\hbar}\llangle \{c_\mathrm H(\bm r,t),c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t')\}\rrangle

=-\frac{i}{\red\hbar}\llangle c_\mathrm H(\bm r,t)c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t')\rrangle -\frac{i}{\red\hbar}\llangle c_\mathrm H^\dagger(\bm r',t')c_\mathrm H(\bm r,t)\rrangle

=G^>(\bm r,t,\bm r',t')-G^<(\bm r,t,\bm r',t')

4つの Green 関数は独立ではなく、3つが決まれば残りの1つが決まることが分かる。

平衡状態では G^r G^a が複素共役となり、 これらの情報のみで系を記述できる。

平衡状態からずれた状況では3つの Green 関数がフルに必要となる。

ただし、平衡状態からのずれを線形応答に限ってしまえば、 係数を平衡状態の性質で表すことができるため、 G^r G^a の情報のみで十分となる。

Green 関数の定義まとめ

定義をまとめると、

(8.70)〜(8.73)

G^t=-\frac{i}{\red\hbar}\theta(t-t')\llangle c_\mathrm H\, c_\mathrm H^{\dagger\prime}\rrangle +\frac{i}{\red\hbar}\theta(t'-t)\llangle c_\mathrm H^{\dagger\prime}\,c_\mathrm H\rrangle

G^{\overline t}=+\frac{i}{\red\hbar}\theta(t-t')\llangle c_\mathrm H^{\dagger\prime}\,c_\mathrm H\rrangle -\frac{i}{\red\hbar}\theta(t'-t)\llangle c_\mathrm H \,c_\mathrm H^{\dagger\prime}\rrangle

G^r=-\frac{i}{\red\hbar}\theta(t-t')\llangle \{c_\mathrm H,c_\mathrm H^{\dagger\prime}\}\rrangle

G^a=+\frac{i}{\red\hbar}\theta(t'-t)\llangle \{c_\mathrm H,c_\mathrm H^{\dagger\prime}\}\rrangle

G^<=+\frac{i}{\red\hbar}\llangle c_\mathrm H^{\dagger\prime}\,c_\mathrm H\rrangle

G^>=-\frac{i}{\red\hbar}\llangle c_\mathrm H\,c_\mathrm H^{\dagger\prime}\rrangle

Green 関数の性質2

これらに、 1-\theta(t)=\theta(-t) を使って、

G^t=\theta(t-t')G^>+\theta(t'-t)G^<

G^t-G^<=G^r

G^t-G^>=G^a

G^{\overline t}=\theta(t-t')G^<+\theta(t'-t)G^>

G^{\overline t}-G^>=-G^r

G^{\overline t}-G^<=-G^a

G^r=\theta(t-t')(G^>-G^<)

G^a=\theta(t'-t)(G^<-G^>)

G^t-G^{\overline t}=G^a+G^r

G^r-G^a=G^>-G^<

Fourier 係数の定義

以下は物理量に対する Fourier 係数の定義。 これらの定義は数学的な一律の定義にはなっていなくて、 個々の物理量に対して係数の付け方や i -i の区別などが1つ1つ異なっているため、非常にややこしい。 このようなややこしい定義は (8.117) の式に余計な係数が出てこないように工夫されたために生まれた物。

おかげで、途中計算は常に定義に戻って慎重に行わないとならず、かなり大変。

・・・・なのかと思ったら、第1刷の係数は Green 関数の定義で 1/\hbar が抜けていたのをつじつまを合わせるために入った物だったみたいで、 第2刷の定義によればそれほど複雑怪奇ではないみたい。(2012.06.01追記)

(8.74)

c(\bm r,t)=\frac{1}{\sqrt V}\sum_{\bm k}e^{i\bm k\cdot\bm r}c_{\bm k}(t) =\frac{\red 1}{\sqrt V}\sum_{\bm k}e^{i\bm k\cdot\bm r} \left[ \int \frac{d\omega}{2\pi} e^{-i\omega t}c_{\bm k\omega}\right]

c_{\bm k\omega}=\red 1\int_{-\infty}^\infty dt\,e^{i\omega t}c_{\bm k}(t)= \red 1\int_{-\infty}^\infty dt\,e^{i\omega t} \left[\frac{1}{\sqrt V}\int d^3r\,e^{-i\bm k\cdot\bm r}c(\bm r,t)\right]

数学的には時間の Fourier 変換の係数に \sqrt \hbar が掛かったりしないが、ここでは上記の工夫のために入れてある。

(8.74A)

これ結構重要 → c^\dagger_{\bm k\omega} c_{\bm k\omega} のエルミート共役であって、 c^\dagger(\bm r,t) のフーリエ係数ではない。 このために指数関数の肩に乗る i の符号が逆転している。

c^\dagger_{\bm k\omega}=\left(c_{\bm k\omega}\right)^\dagger=\frac{1}{\sqrt\hbar}\int_{-\infty}^\infty dte^{-i\omega t}c^\dagger_{\bm k}(t)= \frac{1}{\sqrt\hbar}\int_{-\infty}^\infty dte^{-i\omega t} \left[\frac{1}{\sqrt V}\int d^3re^{i\bm k\cdot\bm r}c^\dagger(\bm r,t)\right]

(8.75)

G_{\bm k,\bm k'}^<(t,t')=\frac{i}{\red\hbar}\textcolor{red}{\llangle c_{\mathrm H\bm k'}^\dagger(t')c_{\mathrm H\bm k}(t)\rrangle}

G_{\bm k,\bm k',\omega,\omega'}^<=\frac{i}{\red\hbar}\textcolor{red}{\llangle c_{\mathrm H\bm k'\omega'}^\dagger c_{\mathrm H\bm k\omega}\rrangle}

(8.76)

(8.74A) のために、 t' , r' に対する変換は i -i になる。

\alpha=r,a,<,> として、

&G^\alpha(\bm r,t,\bm r',t')=\frac{1}{V}\sum_{\bm k,\bm k'}e^{i\bm k\cdot\bm r}e^{-i\bm k'\cdot\bm r'}G_{\bm k,\bm k'}^\alpha(t,t')\\ &=\red{\frac{1}{V}}\int \frac{d\omega}{2\pi}\int \frac{d\omega'}{2\pi}\sum_{\bm k,\bm k'}e^{-i\omega t}e^{i\omega' \textcolor{red}{t'}}e^{i\bm k\cdot\bm r}e^{-i\bm k'\cdot\bm r'}G_{\bm k,\bm k',\omega,\omega'}^\alpha

&G_{\bm k,\bm k',\omega,\omega'}^\alpha =\red 1\int_{-\infty}^\infty dt\int_{-\infty}^\infty dt'e^{i\omega t}e^{-i\omega' \textcolor{red}{t'}}G_{\bm k,\bm k'}^\alpha(t,t')\\ &=\red{\frac{1}{V}}\int_{-\infty}^\infty dt\int_{-\infty}^\infty dt'\int d^3r\int d^3r'e^{i\omega t}e^{-i\omega' \textcolor{red}{t'}}e^{-i\bm k\cdot\bm r}e^{i\bm k'\cdot\bm r'}G^\alpha(\bm r,\bm r',t,t')\\

(8.77)

δ関数に関する基本式は \frac{1}{2\pi}\int dx e^{iyx}=\delta(y)
δ関数について

\frac{1}{2\pi}\int d\omega e^{i\omega(t-t')}=\delta(t-t')

\frac{1}{2\pi}\int dt e^{i(\omega-\omega')t}=\delta(\omega-\omega')

\frac{1}{V}\sum_{\bm k}e^{i\bm k\cdot(\bm r-\bm r')}=\frac{1}{(2\pi)^3}\int d^3ke^{i\bm k\cdot(\bm r-\bm r')}=\delta^{\textcolor{red}{3}}(\bm r-\bm r')

\frac{1}{V}\int d^3re^{i(\bm k-\bm k')\cdot\bm r}=\delta_{\bm k,\bm k'}=\frac{(2\pi)^3}{V}\delta^{\textcolor{red}{3}}(\bm k-\bm k')

自由な場合の Green 関数では

(8.79)

自由な場合など、個々の電子の運動量と振動数が保存されている場合には、

g_{0\bm k,\bm k',\omega,\omega'}^\alpha=\delta_{\bm k,\bm k'}2\pi\delta(\omega-\omega')g_{0\bm k,\omega}^\alpha

のように、Fourier 成分が \bm k,\bm k' \omega, \omega' に対して対角になる。

この場合、

(8.78)

g_0^\alpha(\bm r,\textcolor{red}{t,\bm r',}t')= g_0^\alpha(\bm r-\bm r',t-t')= \frac{\hbar}{2\pi V}\sum_{\bm k}\int d\omega e^{i\bm k\cdot(\bm r-\bm r')}e^{-i\omega(t-t')}g_{0\bm k,\omega}^\alpha

のように、Green 関数は相対座標および相対時刻の関数となる。

またこのとき、Green 関数の Fourier 成分は t \bm r ではなく、 t-t' \bm r-\bm r' に対する変換係数になっているとも言える。

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