線形代数II/関数空間

(13d) 更新

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目次

無限次元の線形空間

これまで主に、有限個数のベクトルで張ることのできる、 有限次元の線形空間について学んできた。

線形空間にはこれ以外に、有限個のベクトルで張ることのできない 無限次元の線形空間が存在する。

中でも有用なのが以下で見る関数の線形空間である。

関数の線形空間 = 関数空間

閉区間 [a,b] ただし a,b\in \mathbb R で定義された任意の複素関数を要素とする集合 U は、 通常の和と定数倍に対して線形空間を為す。

すなわち、 f,g\in U のとき、

u=f+g  を  u(x)\equiv f(x)+g(x)  として、

v=kf  を  v(x)\equiv kf(x)  として

定義すれば、 u,v\in U であり、 U はこれらの演算に対して閉じている。

以下、数ベクトル空間と対比させながら関数空間について学んでいこう。

ベクトルの値

\bm a={}^t\!(a_1\ a_2\ \dots\ a_n)\in\mathbb R^n のとき、

添字 k に対して a_k をプロットすれば、 「ベクトルのグラフ」を表示できる。

vector1.png

k から a_k への対応関係を1つ決めると、 それが1つのベクトルを決めることに相当する。

u(x)\in U のとき、

変数 x に対して u(x) をプロットすれば、 「関数のグラフ」を表示できる。

function.png

x から u(x) への対応関係を1つ決めると、 それが1つの関数を決めることに相当する。

このようなグラフを考えれば、

  • ベクトルの和はグラフの上下方向への重ね合わせに
  • ベクトルの定数倍はグラフの上下方向の引き延ばしに

それぞれ対応する。

ただし本来、ベクトルや関数の値は複素数を想定しているので、 その場合には3次元的なグラフを考える必要がある。

内積

本授業で採用している内積の公理はかけ算の順番が一般的な物と異なるため注意せよ。

標準内積:

(\bm a,\bm b)\equiv\bm a^\dagger\bm b =\sum_{k=1}^n \overline{a_k}b_k

少し一般化して、

(\bm a,\bm b)&\equiv\sum_{k=1}^n w_k\overline{a_k}b_k

としても内積の公理を満たす。ただし w_k>0 はある決まった正の数列で、 個々の成分に付けられた重みに相当する。

標準内積:

(u,v)\equiv\int_a^bdx\,\overline{u(x)}v(x)

少し一般化して、

(u,v)\equiv\int_a^bdx\,\rho(x)\overline{u(x)}v(x)

としても良い。ただし、 \rho(x)>0 は「重み関数」と呼ばれる。

正規・直交

正規性:

(\bm x,\bm x)=\|x\|^2=1

直交:

(\bm x,\bm y)=0


正規直交:

ベクトルの組 \set{\bm e_k} に対して

(\bm e_i,\bm e_j)=\delta_{ij}

正規性:

\int_a^bdx\,\rho(x)|u(x)|^2=1

直交:

\int_a^bdx\,\rho(x)\overline{u(x)}v(x)=0

正規直交:

関数の組 \set{\phi_k(x)} に対して

\int_a^bdx\,\rho(x)\overline{\phi_i(x)}\phi_j(x)=\delta_{ij}

完全性・成分表示

あるベクトルの組 \set{\bm b_k} が「線形空間 V を張る」 とは、 任意の \bm x\in V を次の形に表せること。

\bm x=\sum_{k=1}^n x_k\bm b_k

ある関数系 \set{\phi_k(x)} が集合 U で完全であるとは、 任意の関数 f(x)\in U を次の形に表せること。

f(x)=\sum_{k=1}^\infty f_k\phi_k(x)

無限次元なので、和の上限は \infty となる。

実際には k \infty までの和を取るわけには行かないため、 この表示は N\to \infty のときに左辺と右辺との差がゼロに近づくことを表わす。つまり、

\Big\|f(x)-\sum_{k=1}^N f_k\phi_k(x)\Big\|^2=\int_a^bdx\,\rho(x)\Big|f(x)-\sum_{k=1}^N f_k\phi_k(x)\Big|^2\to 0

例えば、関数系 \set{1,x,x^2,x^3,\dots} は、任意の無限回微分可能な関数を

f(x)=\sum_{k=0}^\infty \Big(\frac{1}{k!}\frac{d^kf}{dx^k}\Big)x^k

と表せることから、無限回微分可能な関数全体が作る線形空間において完全系をなす。
x=0 でのテイラー展開 = マクローリン展開)

正規直交基底 \set{\bm e_k} により \bm x=\sum_{k=1}^n x_k\bm e_k と分解するとき、 その \bm e_k 成分を

x_k=(\bm e_k,\bm x)

として求められる。(あるいは x_k=\overline{(\bm x,\bm e_k)}

すなわち、

\bm x=\sum_{k=1}^n (\bm e_k,\bm x)\bm e_k

数ベクトル空間では内積を行列の積で表して、

\bm x=\sum_{k=1}^n \bm e_k\bm e_k^\dagger\bm x =\bigg[\sum_{k=1}^n \bm e_k\bm e_k^\dagger\bigg]\bm x

が任意の \bm x に対して成り立つから、

\sum_{k=1}^n \bm e_k\bm e_k^\dagger=E=\big(\delta_{ij}\big)

である。

正規直交関数系 \set{\phi_k(x)} により f(x)=\sum_{k=1}^n f_k\phi_k(x) と分解するとき、 その \phi_k(x) の係数を

f_k=\int_a^bdx\,\rho(x)\overline{\phi_k(x)}f(x)

として求められる。すなわち、

f(x)=\sum_{k=1}^n \Bigg[\int_a^bdx'\,\rho(x')\overline{\phi_k(x')}f(x')\Bigg]\phi_k(x)

この式を変形すれば

f(x)=\int_a^bdx'\,\Big[\sum_{k=1}^n \rho(x')\overline{\phi_k(x')}\phi_k(x)\Big]f(x')

となり、これが任意の関数 f に対して成り立つならば、

\sum_{k=1}^n \rho(x')\overline{\phi_k(x')}\phi_k(x)=\delta(x'-x)

である。この式を完全性の条件とする場合もある。


与えられた関数をこのように正規直交な完全関数系で展開することを、 「フーリエ式展開」と呼ぶ。

正規直交基底 \set{\bm e_k} に対するベクトル \bm x の表現を {}^t\begin{pmatrix}x1&x2&\dots&x_n\end{pmatrix} とすれば、

\|\bm x\|^2=(\bm x,\bm x)=\sum_k |x_k|^2

正規直交基底に対する内積の成分表示 を参照

パーセバルの等式:

ある正規直交関数系 \set{\phi_k(x)} が完全であることと、 任意の関数 f(x) に対して f_k=(\phi_k(x),f(x)) を求めた際に

\|f\|^2=\int_a^b dx|f(x)|^2=\sum_{k=1}^\infty|f_k|^2

を満たすこととは同値となる。この等式はパーセバルの等式と呼ばれる。

例えば、 \set{\phi_1,\phi_2,\phi_3,\dots} が完全系であるとき、 \set{\phi_1,\phi_3,\phi_5,\phi_7,\dots} は恐らく完全系ではない。 このように関数系が不完全なときは、右辺の項数が不足する。

両方合わせると、任意の正規直交関数系 \set{\phi_k(x)} に対して

\|f\|^2=\int_a^b dx\|f(x)\|^2\geqq\sum_{k=1}^\infty|f_k|^2

が成り立つ。これをベッセルの不等式と呼ぶ。

ここまでの話は、積分や無限級数の和が収束することが条件となっていて、 そのあたりの詳しい話は解析学の範疇になる。

正規直交系の取り方によっても、どんな場合に収束するかなどが異なることがあるため、 個々のケースについて使いながら覚えていく必要がある。

正規直交な完全関数系の例

授業で扱う範囲においては、

ルジャンドル(Legendre)多項式 は主に量子力学で、

実・複素フーリエ級数は 波動・電気回路・信号処理などの他にも幅広い分野で、

活用されることになる。

ルジャンドル(Legendre)多項式

ルジャンドル多項式は、内積の積分範囲を [-1,1] に、また、重み関数 \rho(x)=1 において \set{1,x,x^2,x^3,\dots} をシュミットの直交化法を用いて直交化して得られる関数系である。 (厳密には係数分だけ異なるが)

\set{1,x,x^2,x^3,\dots} と同様に無限回微分可能な関数を元とする関数空間に於いて完全系をなす。

1)

\bm f_0=1

(\bm f_0,\bm f_0)=\int_{-1}^1 dx=[x]_{-1}^1=2

\therefore \bm e_0=\frac{1}{\|\bm f_0\|}\bm f_0=\frac{1}{\sqrt 2}

2)

\bm f_1&=x-(\bm e_0,x)\bm e_0\\ &=x-\frac{1}{2}\int_{-1}^1dx\,x\\ &=x-\frac{1}{2}\Big[\frac{x^2}{2}\Big]_{-1}^1\\ &=x

(\bm f_1,\bm f_1)=\int_{-1}^1 dx\,x^2=[\frac{1}{3}x^3]_{-1}^1=\frac{2}{3}

\therefore \bm e_1=\frac{1}{\|\bm f_1\|}\bm f_1=\sqrt{\frac{3}{2}}x

3)

\bm f_2&=x^2-(\bm e_0,x^2)\bm e_0-(\bm e_1,x^2)\bm e_1\\ &=x^2-\frac{1}{2}\int_{-1}^1dx\,x^2-\frac{3}{2}\int_{-1}^1dx\,x^3\\ &=x^2-\frac{1}{2}\Big[\frac{x^3}{3}\Big]_{-1}^1-\frac{3}{2}\Big[\frac{x^4}{4}\Big]_{-1}^1\\ &=x^2-\frac{1}{3}

(\bm f_2,\bm f_2)&=\int_{-1}^1 dx\,\Big(x^4-\frac{2}{3}x^2+\frac{1}{9}\Big)\\ &=\Big[\frac{1}{5}x^5-\frac{2}{9}x^3+\frac{1}{9}x\Big]_{-1}^1\\ &=\frac{2}{5}-\frac{2}{9}=\frac{8}{45}

\therefore \bm e_2&=\frac{1}{\|\bm f_2\|}\bm f_2\\ &=\sqrt{\frac{5}{2}}\cdot\sqrt{3}{2}(x^2-\frac{1}{3})\\ &=\sqrt{\frac{5}{2}}\cdot\frac{1}{2}(3x^2-1)

これを続けると、一般に

\bm e_n=\sqrt{\frac{2n+1}{2}}\cdot\underbrace{\frac{1}{2^nn!}\frac{d^n}{dx^n}(x^2-1)^n}_{\displaystyle P_n(x)}

の形が得られる。式中で P_n(x) として表わした部分がルジャンドル多項式と呼ばれる。

具体的な形は、

P_0(x)=1

P_1(x)=x

P_2(x)=\frac{1}{2}(3x^2-1)

P_3(x)=\frac{1}{2}(5x^3-3x)

P_4(x)=\frac{1}{8}(35x^4-30x^2+3)

P_5(x)=\frac{1}{8}(63x^5-70x^3+15x)

P_6(x)=\frac{1}{16}(231x^6-315x^4+105x^2-5)

などとなる。

実フーリエ級数展開

区間 [-\pi,\pi] を定義域とする実関数空間に、 重み関数 = 1 として内積を導入するとき、

\Big\{ a_0(x)&=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}, \\ a_1(x)&=\frac{1}{\sqrt \pi}\cos x, b_1(x)=\frac{1}{\sqrt \pi}\sin x, \\ a_2(x)&=\frac{1}{\sqrt \pi}\cos 2x, b_2(x)=\frac{1}{\sqrt \pi}\sin 2x, \dots,\\ a_k(x)&=\frac{1}{\sqrt \pi}\cos kx, b_k(x)=\frac{1}{\sqrt \pi}\sin kx,\dots\Big\}

は正規直交基底を為す。→ 正規直交性を確かめよ

f(x)=\sum_{k=0}^\infty \alpha_k a_k(x)+\sum_{k=1}^\infty \beta_k b_k(x)

と展開するとき、各係数は、

\alpha_0=\int_{-\pi}^\pi dx\, \overline{a_0(x)}f(x)=\frac{1}{\sqrt {2\pi}}\int_{-\pi}^\pi dx\, f(x)

\alpha_k=\int_{-\pi}^\pi dx\, \overline{a_k(x)}f(x)=\frac{1}{\sqrt {\pi}}\int_{-\pi}^\pi dx\, \cos kx\,f(x)

\beta_k=\int_{-\pi}^\pi dx\, \overline{b_k(x)}f(x)=\frac{1}{\sqrt {\pi}}\int_{-\pi}^\pi dx\, \sin kx\,f(x)

として与えられる。

微分不可能な点を持っているような関数を含む、 ルジャンドル多項式で表せる空間よりもさらに広い空間で完全系となる。

複素フーリエ級数展開

区間 [-\pi,\pi] を定義域とする複素関数空間に、 重み関数 = 1 として内積を導入するとき、

\Big\{ \phi_0(x)&=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}, \\ \phi_1(x)&=\frac{1}{\sqrt {2\pi}}e^{ix}, \phi_{-1}(x)=\frac{1}{\sqrt {2\pi}}e^{-ix}, \\ \phi_2(x)&=\frac{1}{\sqrt {2\pi}}e^{2ix}, \phi_{-2}(x)=\frac{1}{\sqrt {2\pi}}e^{-2ix}, \dots,\\ \phi_k(x)&=\frac{1}{\sqrt {2\pi}}e^{kix}, \phi_{-k}(x)=\frac{1}{\sqrt {2\pi}}e^{-kix}, \dots\Big\}

は正規直交基底を為す。→ 正規直交性を確かめよ

f(x)=\sum_{k=-\infty}^\infty f_k \phi_k(x)

と展開するとき、各係数は、

f_k=\int_{-\pi}^\pi dx\, \overline {\phi_k(x)}f(x)=\frac{1}{\sqrt {2\pi}}\int_{-\pi}^\pi dx\, e^{-ikx}f(x)

として与えられる。

微分不可能な点を持っているような関数を含む、 ルジャンドル多項式で表せる空間よりもさらに広い空間で完全系となる。

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