量子力学Ⅰ/固有値と期待値/メモ

(152d) 更新

概要

量子力学Ⅰ/固有値と期待値 のページへの補足です。

演習:物理量を表わす演算子のエルミート性

解答

(1)

f(x) が実数であれば f^*(x)=f(x) であることに注意して、

  \begin{array}{lll} \displaystyle\int_{-\infty}^\infty\varphi_1^*(x)\hat f\varphi_2(x)\,dx &\displaystyle=\int_{-\infty}^\infty\varphi_1^*(x)f(x)\varphi_2(x)\,dx\\ &\displaystyle=\int_{-\infty}^\infty f(x)\varphi_1^*(x)\varphi_2(x)\,dx &\hspace{1cm}数値の入れ替え\rule{0pt}{2em}\\ &\displaystyle=\int_{-\infty}^\infty f^*(x)\varphi_1^*(x)\varphi_2(x)\,dx &\hspace{1cm}f^*(x)=f(x)\rule{0pt}{2em}\\ &\displaystyle=\int_{-\infty}^\infty \big(f(x)\varphi_1(x)\big)^*\varphi_2(x)\,dx\rule{0pt}{2em}\\ &\displaystyle=\int_{-\infty}^\infty \big(\hat f\varphi_1(x)\big)^*\varphi_2(x)\,dx\rule{0pt}{2em}\\ \end{array}

(2)

  \int_{-\infty}^\infty\varphi_1^*(x)\frac{d}{d x}\varphi_2(x)\,dx &=\underbrace{\Big[\varphi_1^*(x)\varphi_2(x)\Big]_{-\infty}^\infty}_{=0}-\int_{-\infty}^\infty\Big(\frac{d}{d x}\varphi_1^*(x)\Big)\varphi_2(x)\,dx\\ &=\int_{-\infty}^\infty\Big(-\frac{d}{d x}\varphi_1(x)\Big)^*\varphi_2(x)\,dx\\

(3)

  \int_{-\infty}^\infty\varphi_1^*(x)\,\hat p\,\varphi_2(x)\,dx &=\int_{-\infty}^\infty\varphi_1^*(x)\frac{\hbar}{i}\frac{d}{d x}\varphi_2(x)\,dx\\ &=\int_{-\infty}^\infty\left(\frac{\hbar}{-i}\varphi_1(x)\right)^*\frac{d}{d x}\varphi_2(x)\,dx\\ &=\int_{-\infty}^\infty\left(-\frac{d}{d x}\,\frac{\hbar}{-i}\varphi_1(x)\right)^*\varphi_2(x)\,dx\\ &=\int_{-\infty}^\infty\left(\frac{\hbar}{i}\frac{d}{d x}\varphi_1(x)\right)^*\varphi_2(x)\,dx\\ &=\int_{-\infty}^\infty\big(\hat p\,\varphi_1(x)\big)^*\varphi_2(x)\,dx\\

(4)

  (\varphi_1,\hat X^n\varphi_2) &=(\varphi_1,\underbrace{\hat X\hat X\dots\hat X}_n\varphi_2)\\ &=(\hat X\varphi_1,\underbrace{\hat X\dots\hat X}_{n-1}\varphi_2)\\ &=(\hat X\hat X\varphi_1,\underbrace{\hat X\dots\hat X}_{n-2}\varphi_2)\\ &\ \ \vdots\\ &=(\underbrace{\hat X\hat X\dots\hat X}_n\varphi_1,\varphi_2)\\ &=(\hat X^n\varphi_1,\varphi_2)\\

(5)

  \big(\varphi_1,(\hat X+\hat Y)\varphi_2\big) &=\big(\varphi_1,\hat X\varphi_2\big)+\big(\varphi_1,\hat Y\varphi_2\big)\\ &=\big(\hat X\varphi_1,\varphi_2\big)+\big(\hat Y\varphi_1,\varphi_2\big)\\ &=\big((\hat X+\hat Y)\varphi_1,\varphi_2\big)\\

(6)

  (\varphi_1,\hat X\hat Y\varphi_2) &=(\hat X\varphi_1,\hat Y\varphi_2)\\ &=(\hat Y\hat X\varphi_1,\varphi_2)\\

任意の \varphi_1,\varphi_2 に対してこれが (\hat X\hat Y\varphi_1,\varphi_2) に等しいためには、

  \hat Y\hat X=\hat X\hat Y すなわち \hat X\hat Y-\hat Y\hat X=0 でなければならない。

このように入れ替えても結果の変わらない演算子同士は「可換(かかん)」であると言われる。

(7) (1) の通り実数関数 V(x) の部分はエルミートであるから、 -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}=\frac{\hat p^2}{2m} がエルミートであることを示せば、(5) により \hat H はエルミートになる。

(1) より定数関数 1/2m はエルミートである。 また、 \hat p はエルミートであるから \hat p^2 はエルミートである。

\hat p^2 1/2m は可換であるから \hat p^2/2m もエルミートである。

(8)

  \hat p\hat x\varphi(x)=\frac{\hbar}{i}\frac{d}{dx}\big(x\varphi(x)\big) &=\frac{\hbar}{i}\varphi(x)+x\cdot\frac{\hbar}{i}\frac{d}{dx}\varphi(x)\\ &=\Big(\frac{\hbar}{i}+x\cdot\frac{\hbar}{i}\frac{d}{dx}\Big)\varphi(x)\\ &=\Big(\frac{\hbar}{i}+\hat x\hat p\Big)\varphi(x)\\

より、 \hat p\hat x-\hat x\hat p=\frac{\hbar}{i}

あるいは、 \hat x\hat p-\hat p\hat x=i\hbar

エルミート共役演算子の存在

ある演算子 T に対するエルミート共役演算子 T^\dagger は必ず存在する。 線形空間に正規直交基底 \{\phi_k\} を取れば T の行列表現は (T)_{ij}=(\phi_i,T\phi_j) である。 そのエルミート共役を取ればそれがエルミート共役演算子の行列表現である。 (T^\dagger)_{ij}=(T)_{ji}^*

  \because (f,T g) &=(\sum_n f_n\phi_n,T \sum_m g_m \phi_m)\\ &=\sum_n\sum_m f_n^*g_m(\phi_n,T \phi_m)\\ &=\sum_n\sum_m f_n^*g_m(T)_{nm}\\ &=\sum_n\sum_m f_n^*g_m(T^\dagger)_{mn}^*\\ &=\sum_n\sum_m f_n^*g_m(\phi_m,T^\dagger\phi_n)^*\\ &=\sum_n\sum_m f_n^*g_m(T^\dagger\phi_n,\phi_m)\\ &=(\sum_n f_nT^\dagger\phi_n,\sum_m g_m\phi_m)\\ &=(T^\dagger\sum_n f_n\phi_n,\sum_m g_m\phi_m)\\ &=(T^\dagger f,g)\\


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