電子の波動方程式/メモ

(1047d) 更新

量子力学Ⅰ/電子の波動方程式

解答:波動方程式(電磁波の場合)

(1)

  \frac{\PD^2}{\PD t^2}\bm E(\bm r,t) &=\frac{\PD^2}{\PD t^2}\bm E_0\cos(\bm k\cdot\bm r-\omega t)\\ &=\frac{\PD}{\PD t}\Big[\omega\bm E_0\sin(\bm k\cdot\bm r-\omega t)\Big]\\ &=-\omega^2\bm E_0\cos(\bm k\cdot\bm r-\omega t)

(2)

  \frac{\PD^2}{\PD x^2}\bm E(\bm r,t) &=\frac{\PD^2}{\PD x^2}\bm E_0\cos(k_xx+k_yy+k_zz-\omega t)\\ &=\frac{\PD}{\PD x}\Big[-k_x\bm E_0\sin(k_xx+k_yy+k_zz-\omega t)\Big]\\ &=-k_x^2\bm E_0\cos(\bm k\cdot\bm r-\omega t)

同様に、 \frac{\PD^2}{\PD y^2}\bm E=-k_y^2\bm E \frac{\PD^2}{\PD z^2}\bm E=-k_z^2\bm E だから、

  \nabla^2\bm E(\bm r,t) &=\Big(\frac{\PD^2}{\PD x^2}+\frac{\PD^2}{\PD x^2}+\frac{\PD^2}{\PD x^2}\Big)\bm E(\bm r,t)\\ &=\big(-k_x^2-k_y^2-k_z^2\big)\bm E(\bm r,t)\\ &=-|\bm k|^2\bm E(\bm r,t)

(3)

(1), (2) を使って波動方程式を書き換えると、

  -k^2\bm E(\bm r,t)=-\frac{\omega^2}{c^2}\bm E(\bm r,t)

したがって、 \bm E_0\ne 0 であるかぎり、

  k^2=\omega^2/c^2

あるいは、

  ck=\pm\omega

となる必要がある。

(4) \lambda=cT より、

  \frac{1}{T}=\frac{c}{\lambda}

  \frac{2\pi}{T}=c\frac{2\pi}{\lambda}

  \omega=ck

(5)

  \frac{\PD^2}{\PD t^2}\bm E(\bm r,t) &=\frac{\PD^2}{\PD t^2}\bm E_0f(k_xx+k_yy+k_zz-\omega t)\\ &=\frac{\PD}{\PD t}\Big[-\omega\bm E_0f'(k_xx+k_yy+k_zz-\omega t)\Big]\\ &=\omega^2\bm E_0f''(\bm k\cdot\bm r-\omega t)

また、

  \frac{\PD^2}{\PD x^2}\bm E(\bm r,t) &=\frac{\PD^2}{\PD x^2}\bm E_0f(k_xx+k_yy+k_zz-\omega t)\\ &=\frac{\PD}{\PD x}\Big[k_x\bm E_0f'(k_xx+k_yy+k_zz-\omega t)\Big]\\ &=k_x^2\bm E_0f''(\bm k\cdot\bm r-\omega t)

より、波動方程式は

  k^2\bm E_0f''(\bm k\cdot\bm r-\omega t)=\frac{\omega^2}{c^2}\bm E_0f''(\bm k\cdot\bm r-\omega t)

と書き換えられて、(3), (4) と同様に ck=\pm\omega である限り、波動方程式を満たすことが確かめられる。


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