電磁気学/Ampère の法則

(78d) 更新

電磁気学

§1-5 Ampère の法則

oersted.png

これは電流が磁場を作るという法則である。

Oersted(エルステッド) は電流 I から r の距離に発生する磁場について、

   B\propto \frac{I}{r}

すなわち、

   2\pi rB=\mu_0I

と書けることを示した。ただし \mu_0 はある定数(実際には真空の誘電率)

ampere.png

Ampère(アンペール) は電流を中心としなくても、また電流が複数あったとしても、 任意の閉経路 C に対して、

   \oint_C\bm B\cdot d\bm r &=\mu_0 I\\ &=\mu_0 (I_1+I_2+\dots)\\

と表せることを示した。ただし I C を貫く電流の総量。 この法則は点電荷の電場から Coulomb の法則を導いたのと同様に、 Oersted の法則と空間の等方性から導くことが可能である。

\mu_0 は真空の誘電率と呼ばれる定数であり、その値は次のように定義される。

   \mu_0=\frac{1}{\epsilon_0c^2}=4\pi\times 10^{-7}\,\mathrm{N/A^2}

これはたまたま測定値がこのようになったというわけではなく、光速 c の測定値に対して、 \mu_0 がこの値となるように \epsilon_0 の値、ひいては電荷の単位 C を定めたということである。

電流密度

ある曲面 S を貫く電流は、電流密度 \bm i を用いて、

   I=\int_S\bm i\cdot\bm n\,dS

と表せるから、 C (ふち)とする曲面を S とすれば、 Ampère の法則の積分形を

   \oint_C\bm B\cdot d\bm r &=\mu_0\int_S\bm i\cdot\bm n\,dS

と表せる。さらにこれを Stokes の定理により変形すれば、Ampère の法則の微分形を

   \frac{1}{\mu_0}\mathrm{rot}\,\bm B=\bm i

として得る。

閉曲線を貫く電流?

divergenceofcurrent.png

ある閉曲線を貫く磁束が定義できる理由は、 \mathrm{div}\,\bm B=0 すなわち磁場が常にループを描くことにあった。

「ある閉曲線を貫く電流」が定義できるためには、これと同様に \mathrm{div}\,\bm i=0 が成り立たなければならない。もしどこかで電流が途切れたり、湧き出したりするようなことがあれば、 「閉曲線 C を縁とする曲面」の取り方によって、曲面を貫く電流値が違うことになってしまい、 結果として「閉曲面を貫く電流」が一意に定義されないことになる。

例えば右図では閉曲線 C を縁とする2つの曲面 S_1,S_2 に対して、 それらに囲まれる範囲から湧き出した電流 I S_1 は貫くものの、 S_2 を貫かない状況を表している。このとき「 C を貫く電流」は一意に定義されない。

このことは、上記の Ampère の法則の微分形の両辺の発散を取ることでも確認できる。

   \frac{1}{\mu_0}\underbrace{\mathrm{div}\,\mathrm{rot}}_{=0}\,\bm B=0=\mathrm{div}\,\bm i

すなわち、Ampère の法則はそれ自体が \mathrm{div}\,\bm i=0 を表していることになる。

電荷保存則

\mathrm{div}\,\bm i=0 すなわち電流が完全にループを描いている限り、 電流が流れても正味の電荷の移動はないが、一方で 電流の湧き出し、吸い込みがあればそこには正味の電荷密度の変化が生じる。

これを端的に表したのが電荷保存則である:

   \underbrace{\rule[-20pt]{0pt}{0pt}\mathrm{div}\,\bm i}_{電流が湧き出した分}=\underbrace{\rule[-20pt]{0pt}{0pt}-\frac{\partial}{\partial t}\rho}_{電荷密度が低下する}

Ampère-Maxwell の法則

ampere-maxwell.png

Maxwell は Ampère の法則を拡張し、電荷密度が時間的に変化する場合にも成り立つ法則を導いた。

   \frac{1}{\mu_0}\mathrm{rot}\,\bm B=\bm i+\underbrace{\epsilon_0\frac{\partial \bm E}{\partial t}}_{変位電流}

これは電流に加えて、電場の時間変化も同様に磁場を生むという式になっている。 この電流の次元を持つ項はしばしば変位電流と呼ばれる。

両辺の div を取ると、

   0&=\mathrm{div}\,\bm i+\epsilon_0\frac{\partial \mathrm{div}\,\bm E}{\partial t}\\ &=\mathrm{div}\,\bm i+\frac{\partial \rho}{\partial t}

が得られ、これは電荷保存則に他ならない。

変位電流の意味するところは右図により説明される。ここでは S_1 を貫く電流 I の経路にコンデンサが存在し、その対向電極の間を S_2 が通っている。このため、 S_2 を貫く電流はゼロとなるが、 電流 I によりコンデンサが充電されるため、 S_2 上の電場が時間と共に増加し、 S_2 上では通常の電流の代わりに変位電流が流れる。

Ampère-Maxwell の法則から電荷保存則が導かれることからも分かるとおり、 S_2 上を流れる変位電流はちょうど S_1 上を流れる電流値と一致することから、 閉曲線 C を貫く「電流+変位電流」は C を縁とする曲面の取り方に依らず一意に定義され、 \bm B C 上の周回積分の値がこの「電流+変位電流」で書かれることになる。

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