量子力学Ⅰ/調和振動子/メモ の履歴(No.11)
更新解答:1次元の調和振動子†
(1)
&math( \left(-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}+\frac{K}{2}x^2\right)\varphi(x)=\varepsilon\varphi(x) );
(2)
&math( x^2=\frac{\hbar}{m\omega}\xi^2 ); より、
&math(\left(
- \frac{\hbar^{\not2}}{2\not\!\!m}\frac{\not\!\!m\omega}{\not\!\hbar}\frac{d^2}{d\xi^2}
- \frac{K}{2}\frac{\hbar}{m\omega}\xi^2\right)\varphi(\xi)=\varepsilon\varphi(\xi) );
&math(\frac{\hbar\omega}{2}\left(
- \frac{d^2}{d\xi^2}+\frac{K}{m\omega^2}\xi^2 \right)\varphi(\xi)=\varepsilon\varphi(\xi) );
&math( \left(-\frac{d^2}{d\xi^2}+\frac{\not\!K}{\not\!\!m\not\!\omega^2}\xi^2-\frac{2\varepsilon}{\hbar\omega}\right)\varphi(\xi)=0 );
&math( \left(-\frac{d^2}{d\xi^2}+\xi^2-\lambda\right)\varphi(\xi)=0 );
(3)
&math( &-\frac{d^2}{d\xi^2}\big[X(\xi)e^{-\xi^2/2}\big]+\xi^2X(\xi)e^{-\xi^2/2}-\lambda X(\xi)e^{-\xi^2/2}\\ &=-\frac{d}{d\xi}\big[X'(\xi)e^{-\xi^2/2}-\xi X(\xi)e^{-\xi^2/2}\big]+\xi^2X(\xi)e^{-\xi^2/2}-\lambda X(\xi)e^{-\xi^2/2}\\ &=-X''(\xi)e^{-\xi^2/2}+2\xi X'(\xi)e^{-\xi^2/2}+X(\xi)e^{-\xi^2/2}-\lambda X(\xi)e^{-\xi^2/2}\\ &=0\\ );
両辺を で割れば、
&math( X''(\xi)=2\xi X'(\xi)+(1-\lambda) X(\xi) );
(4)
&math( \sum_{l=0}^\infty l(l-1)c_l\xi^{l-2}=2\xi \sum_{l=0}^\infty l c_l\xi^{l-1}+(1-\lambda) \sum_{l=0}^\infty c_l\xi^l );
左辺は でゼロになるから、 すなわち と書き直して、
&math( \sum_{l=0}^\infty (l+2)(l+1)c_{l+2}\xi^l=2 \sum_{l=0}^\infty l c_l\xi^l+(1-\lambda) \sum_{l=0}^\infty c_l\xi^l );
より において、
(5)
(6)
のとき、 であるから は任意に選べるが、 一方で でなければならない。
したがって、
エルミート多項式が微分方程式を満たすことを確認†
&math( S(\xi,t)=e^{-t^2+2\xi t}=\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n!}H_n(\xi)t^n );
の中辺、右辺を で偏微分すれば、
&math( \frac{\PD}{\PD\xi}(中辺)=2te^{-t^2+2\xi t}=2t\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n!}H_n(\xi)t^n=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{(n-1)!}2H_{n-1}(\xi)t^n );
&math( \frac{\PD}{\PD\xi}(右辺)=\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n!}H_n'(\xi)t^n );
したがって、
同様に で微分すれば、
&math( \frac{\PD}{\PD t}(中辺)=(-2t+2\xi)e^{-t^2+2\xi t}= \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n!}\left(-2nH_{n-1}(\xi)+2\xi H_n(\xi)\right)t^n );
&math( \frac{\PD}{\PD t}(右辺)=\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n!}nH_n(\xi)t^{n-1}=\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n!}H_{n+1}(\xi)t^n );
したがって、
番号を1つずらして、
また、
、
より、
となって、求める微分方程式を満たすことを確認できた。
エルミート多項式の漸化式†
証明したい漸化式は微分を済ませて で割れば、
および、
であるから、上記の関係式により常に成り立つ。
エルミート多項式の直交性†
母関数表示を2つ用意して、
その積に を掛けて積分すれば、
&math( &\int_{-\infty}^\infty \Bigg\{\sum_{m=0}^\infty\frac{1}{m!}H_m(\xi)s^m\Bigg\} \Bigg\{\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n!}H_n(\xi)t^n\Bigg\} e^{-\xi^2} d\xi\\ &= \int_{-\infty}^\infty e^{-s^2+2\xi s-t^2+2\xi t-\xi^2} d\xi\\ &= \int_{-\infty}^\infty e^{-(s+t-\xi)^2+2st} d\xi\\ &= e^{2st}\int_{-\infty}^\infty e^{-(s+t-\xi)^2} d\xi );
右辺はガウス積分 より、
&math( &= e^{2st}\sqrt \pi\\ &= \sqrt{\pi}\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n!}\Big[2^ns^n\Big]t^n );
左辺は、
&math( \sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n!}\Bigg[\sum_{m=0}^\infty \int_{-\infty}^\infty \frac{1}{m!}H_m(\xi)H_n(\xi) e^{-\xi^2} d\xi s^m \Bigg]t^n );
であるから、
&math( \sum_{m=0}^\infty \Bigg[\frac{1}{m!}\int_{-\infty}^\infty H_m(\xi)H_n(\xi) e^{-\xi^2} d\xi\Bigg] s^m = \sqrt{\pi}2^ns^n );
すなわち、
&math( \int_{-\infty}^\infty H_m(\xi)H_n(\xi) e^{-\xi^2} d\xi = \big(\sqrt{\pi}2^nn!\big)\delta_{mn} );
固有関数の形†
LANG:mathematica (* harmonic1.png, harmonic2.png, harmonic2.png, harmonic-density.png *) harmonic[n_, x_] := Sqrt[1/Sqrt[Pi]/2^n/Factorial[n]] HermiteH[n, x] Exp[-x^2/2] Plot[Flatten[{x^2/2, Table[2 harmonic[n, x]^2 + (n + 1/2), {n, 0, 10}]}] // Evaluate, {x, -6, 6}, PlotRange -> {0, 12}, ImageSize -> Large, BaseStyle -> {FontSize -> 14}] Plot[Flatten[{x^2/2, Table[harmonic[n, x] + (n + 1/2), {n, 0, 10}]}] // Evaluate, {x, -6, 6}, PlotRange -> {0, 12}, ImageSize -> Large, BaseStyle -> {FontSize -> 14}] Plot[Flatten[{x^2/2, harmonic[10, x]^2 + (10 + 1/2), 1/Sqrt[2 10.5 - x^2]/Pi + 10.5}] // Evaluate, {x, -6, 6}, PlotRange -> {10.5, 10.9}, ImageSize -> Large, BaseStyle -> {FontSize -> 14}, Filling -> {3 -> Axis}, FillingStyle -> {3 -> {Opacity[0.02]}}, PlotStyle -> {{Thick}, {Thick}, {}}] (* harmonic3.png *) Show[{ Table[ DensityPlot[harmonic[Floor[n], x]^2, {x, -8, 8}, {h, n, n + 1}, PlotPoints -> {801, 2}, MaxRecursion -> 0], {n, 0, 40} ], Plot[x^2/2, {x, -8, 8}, PlotStyle -> {Red}] }, PlotRange -> {0, 30}, ImageSize -> Large, BaseStyle -> {FontSize -> 16}] (* h10.png *) Plot[{HermiteH[10, x], 5000000 Exp[-x^2/2], HermiteH[10, x] 60 Exp[-x^2/2]}, {x, -7, 7}, PlotRange -> {-5000000, 5000000}, PlotLegends -> LineLegend[{ "\!\(\*SubscriptBox[\(H\), \(10\)]\)(x)", "exp(-\!\(\*SuperscriptBox[\(x\), \(2\)]\)/2)", "exp(-\!\(\*SuperscriptBox[\(x\), \\(2\)]\)/2)\!\(\*SubscriptBox[\(H\), \(10\)]\)(x)"}, LabelStyle -> {FontSize -> 20}], PlotStyle -> {Thick, Dashed, Black}, BaseStyle -> {FontSize -> 20}, ImageSize -> Large, Axes -> {True, False}]
3次元の調和振動子†
演習:解答†
(1)
&math(\hat H(x)&=-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+\frac{K}{2}r^2\\ &=-\frac{\hbar^2}{2m}\left(\frac{\PD^2}{\PD x^2}+\frac{\PD^2}{\PD y^2}+\frac{\PD^2}{\PD z^2}\right)+\frac{K}{2}(x^2+y^2+z^2)\\ &=\hat H_x(x)+\hat H_y(y)+\hat H_z(z));
(2)
右辺の3項はそれぞれ のみ、 のみ、 のみに依存する項であるから、 これらの和が常に定数になるためには、それぞれの項が定数でなければならない。そこで例えば
と置けば、
となって、これは が の固有関数であり、 その固有値が であることを表わす。
また、元の式に代入すれば、
より、
を得る。
(3) などとなるから、
ただし、 は非負整数である。したがって、
基底状態は、 で
このとき、 であるから縮退していない。
第1励起状態は、 で
であるから3重に縮退している。
第2励起状態は、 で
であるから6重に縮退している。
第3励起状態は、 で
&math((n_x,n_y,n_z)=&(3,0,0),\,(0,3,0),\,(0,0,3)\,(2,1,0)\,(1,2,0),\\ &\,(0,2,1),\,(0,1,2),\,(1,0,2),\,(1,0,2),\,(1,1,1)); であるから10重に縮退している。
(4) を満たす を図形的に表わせば、 平面 上の右図のような三角形に含まれる格子点に対応するから、
より、 重に縮退している。
形状
LANG:mathematica harmonic[n_, x_] := Sqrt[1/(Pi 2^n Factorial[n])] HermiteH[n, x] Exp[-x^2/2] ContourPlot3D[(harmonic[4, x] harmonic[0, y] harmonic[0, z])^2 == 0.001, {x, -3.5, 3.5}, {y, -3.5, 3.5}, {z, -3.5, 3.5}, ImageSize -> Large]
状態密度
LANG:mathematica Plot[(n - 1/2) (n + 1/2)/2, {n, 0, 20}, BaseStyle -> {FontSize -> 20}, ImageSize -> Large, PlotRange -> {0, 200}]