球対称井戸型ポテンシャル/メモ の履歴(No.5)
更新球ベッセル関数の導出†
&math( R''+\frac{2}{\rho}R'+\left\{1-\frac{l(l+1)}{\rho^2}\right\}R=0 );
は にて となるから、 または となる。 そこで、
&math( R(\rho)=\sum_{k=0}^\infty \frac{s_k\sin \rho+c_k\cos \rho}{\rho^k} );
と置いて代入すれば、
&math( R''&=\sum_{k=0}^\infty \left[ k(k+1)\frac{s_k\sin \rho+c_k\cos \rho}{\rho^{k+2}}
- 2k\frac{s_k\cos\rho-c_k\sin\rho}{\rho^{k+1}}
- \frac{s_k\sin\rho+c_k\cos\rho}{\rho^{k}}\right]\\ &=\sum_{k=2}^\infty (k-2)(k-1)\frac{s_{k-2}\sin \rho+c_{k-2}\cos \rho}{\rho^k}\\ &\phantom{=}-\sum_{k=1}^\infty 2(k-1)\frac{s_{k-1}\cos\rho-c_{k-1}\sin\rho}{\rho^k}\\ &\phantom{=}-\sum_{k=0}^\infty\frac{s_k\sin\rho+c_k\cos\rho}{\rho^{k}}\\ );
&math( \frac{2}{\rho}R'&=\sum_{k=0}^\infty \left[
- 2k\frac{s_k\sin \rho+c_k\cos \rho}{\rho^{k+2}}
- 2\frac{s_k\cos\rho-c_k\sin\rho}{\rho^{k+1}}\right]\\ &=-\sum_{k=2}^\infty 2(k-2)\frac{s_{k-2}\sin \rho+c_{k-2}\cos \rho}{\rho^k}\\ &\phantom{=}+\sum_{k=1}^\infty 2\frac{s_{k-1}\cos\rho-c_{k-1}\sin\rho}{\rho^k}\\ );
&math( \left\{1-\frac{l(l+1)}{\rho^2}\right\}R&=\sum_{k=0}^\infty \frac{s_k\sin \rho+c_k\cos \rho}{\rho^k}\\ &\phantom{=}-l(l+1)\sum_{k=2}^\infty \frac{s_{k-2}\sin \rho+c_{k-2}\cos \rho}{\rho^k} );
については自動的に満たされる。
については、
すなわち、
については、
の係数より、
&math( &(k-2)(k-1)s_{k-2}+2(k-1)c_{k-1}-\cancel{s_k}\\ &\hspace{1cm} -2(k-2)s_{k-2}-2c_{k-1}+\cancel{s_k}-l(l+1)s_{k-2}\\ &=\{(k-3)(k-2)-l(l+1)\}s_{k-2}+2(k-2)c_{k-1}\\ &=0 );
すなわち、
&math( 2(k-2)c_{k-1}=\{l(l+1)-(k-3)(k-2)\}s_{k-2} ); ( )
あるいは、
&math( 2kc_{k+1}=\{l(l+1)-(k-1)k\}s_k ); ( )
の係数より、
&math( &(k-2)(k-1)c_{k-2}-2(k-1)s_{k-1}-\cancel{c_k}\\ &\hspace{1cm}-2(k-2)c_{k-2}+2s_{k-1}+\cancel{c_k}-l(l+1)c_{k-2}\\ &=\{(k-3)(k-2)-l(l+1)\}c_{k-2}-2(k-2)s_{k-1}\\ &=0 );
すなわち、
&math( 2(k-2)s_{k-1}=\{(k-3)(k-2)-l(l+1)\}c_{k-2} ); ( )
あるいは、
&math( 2ks_{k+1}=\{(k-1)k-l(l+1)\}c_k ); ( )
となる。
得られた2つの漸化式は で意味をなさないから、 は自由に選べて、 において、
&math( c_{k+1}=\frac{l(l+1)-(k-1)k}{2k}s_k );
&math( s_{k+1}=\frac{(k-1)k-l(l+1)}{2k}c_k );
となる。 にて であれば、
となって明らかに発散するから、この漸化式は で打ち切られる必要がある。
のとき より、
であるが、 では で発散してしまうため、 であり、
のとき、 、 より、
&math(R=s_1\left(\frac{\sin\rho}{\rho}+\frac{\cos\rho}{\rho^2}\right)+ c_1\left(\frac{\cos\rho}{\rho}-\frac{\sin\rho}{\rho^2}\right) );
であるが、 では で発散してしまうため、 であり、
&math(j_1(\rho)\propto \frac{\cos\rho}{\rho}-\frac{\sin\rho}{\rho^2} );
球ベッセル関数†
LANG:mathematica MySphericalBesselJ[l_, x_] := Nest[D[#, x]/x &, Sin[x]/x, l] x^l // FullSimplify Table[MySphericalBesselJ[l, x], {l, 0, 4}]
&math(
&\Bigg\{\frac{\sin (x)}{x},\frac{x \cos (x)-\sin (x)}{x^2},
- \frac{\left(x^2-3\right) \sin (x)+3 x \cos (x)}{x^3},\\ &\hspace{5mm}\frac{3 \left(2 x^2-5\right) \sin (x)-x \left(x^2-15\right) \cos (x)}{x^4},\frac{5 x \left(2 x^2-21\right) \cos (x)+\left(x^4-45 x^2+105\right) \sin (x)}{x^5}\Bigg\} );
球ベッセル関数のグラフ†
LANG:mathematica Plot[ Join[ SphericalBesselJ[{0, 1, 2, 3}, r], {1/r, -1/r} ] // Evaluate, {r, 0, 40}, PlotRange -> {-0.3, 1.05}, ImageSize -> 800, BaseStyle -> 20, PlotStyle -> {Thick, Thick, Thick, Thick, {Thick, Dotted, Gray}, {Thick, Dotted, Gray}}, ] Plot[Join[ SphericalBesselJ[{1, 5, 9}, (Pi r)], {1/(Pi r), -1/(Pi r)}] // Evaluate, {r, 0, 16}, ImageSize -> 800, BaseStyle -> 20, PlotStyle -> {Thick, Thick, Thick, {Thick, Dotted, Gray}, {Thick, Dotted, Gray}}, PlotRange -> {-0.3, 0.5}, AspectRatio -> 0.4] Plot[ r^2 SphericalBesselJ[{0, 1, 2, 3}, r]^2 // Evaluate, {r, 0, 40}, PlotRange -> Full, ImageSize -> 800, BaseStyle -> 20, PlotStyle -> Thick, Filling->Axis]
境界条件†
LANG:mathematica RootsOfSphericalBesselJ[l_, xmax_] := Map[Round[#[[1]][[2]], 0.00001] &, Table[FindRoot[SphericalBesselJ[l, x], {x, s}], {s, 1, xmax, 0.1}]] // Sort // Union // Select[#, Function[x, 0.1 <= x <= xmax]] & roots = Table[RootsOfSphericalBesselJ[l, 40], {l, 0, 4}] ScaledSphericalBesselJ[l_, n_, x_, xs_] := SphericalBesselJ[l, x roots[[l + 1]][[n]]]/ (FindMaximum[ SphericalBesselJ[l, xx roots[[l + 1]][[n]]], {xx, xs}][[1]]) // FullSimplify Table[Plot[ Table[ScaledSphericalBesselJ[l, n, x, 0.3], {l, 0, 3}] // Evaluate, {x, 0, 1}], {n, 1, 4}] // GraphicsRow[#, ImageSize -> 1336] & Table[Plot[ Table[ScaledSphericalBesselJ[l, n, x, 0.3]^2, {l, 0, 3}] // Evaluate, {x, 0, 1}], {n, 1, 4}] // GraphicsRow[#, ImageSize -> 1336] & ScaledSphericalBesselJ[l_, n_, x_, xs_] := SphericalBesselJ[l, x roots[[l + 1]][[n]]]/ (FindMaximum[ xx SphericalBesselJ[l, xx roots[[l + 1]][[n]]], {xx, xs}][[1]]) // FullSimplify Table[Plot[ Table[x^2 ScaledSphericalBesselJ[l, n, x, 0.3]^2, {l, 0, 3}] // Evaluate, {x, 0, 1}], {n, 1, 4}] // GraphicsRow[#, ImageSize -> 1336] &