球座標における微分演算子 の履歴(No.7)

直交座標との対応†

&math( \begin{cases} x=r\sin\theta\cos\phi\\ y=r\sin\theta\sin\phi\\ z=r\cos\theta \end{cases} );

微分の変換†

ある関数 について、 が微小量 だけ変化すると、 が だけ変化するとする。

一方、 が 変化すれば もそれぞれ だけ変化するとする。

このとき、

　&math( df=\frac{\PD f}{\PD x}dx&=\frac{\PD f}{\PD r}dr+\frac{\PD f}{\PD \theta}d\theta+\frac{\PD f}{\PD \phi}d\phi\\ &=\frac{\PD f}{\PD r}\frac{\PD r}{\PD x}dx+\frac{\PD f}{\PD \theta}\frac{\PD \theta}{\PD x}dx+\frac{\PD f}{\PD \phi}\frac{\PD \phi}{\PD x}dx );

したがって、

　&math(\frac{\PD f}{\PD x}=\frac{\PD r}{\PD x}\frac{\PD f}{\PD r}+

                           \frac{\PD \theta}{\PD x}\frac{\PD f}{\PD \theta}+
                           \frac{\PD \phi}{\PD x}\frac{\PD f}{\PD \phi});

同様にして、

　&math( \begin{cases} \displaystyle\frac{\PD }{\PD x}=\frac{\PD r}{\PD x}\frac{\PD}{\PD r}+\frac{\PD \theta}{\PD x}\frac{\PD}{\PD \theta}+\frac{\PD \phi}{\PD x}\frac{\PD}{\PD \phi}\\[4mm] \displaystyle\frac{\PD }{\PD y}=\frac{\PD r}{\PD y}\frac{\PD}{\PD r}+\frac{\PD \theta}{\PD y}\frac{\PD}{\PD \theta}+\frac{\PD \phi}{\PD y}\frac{\PD}{\PD \phi}\\[4mm] \displaystyle\frac{\PD }{\PD z}=\frac{\PD r}{\PD z}\frac{\PD}{\PD r}+\frac{\PD \theta}{\PD z}\frac{\PD}{\PD \theta}+\frac{\PD \phi}{\PD z}\frac{\PD}{\PD \phi}\\ \end{cases} );

さらに計算を進めるには、 などを求める必要がある。

演習：偏微分の計算†

以下、全微分と異なり一般に であることに注意せよ。

(1) の関係を用いて、 を で書き表せ。

(2) の関係を用いて、 を で書き表せ。

(3) の関係を用いて、 を で書き表せ。

● 解答はこちら

上記結果を代入すれば、

　&math( \begin{cases}

\displaystyle\frac{\PD}{\PD x}= \sin\theta\cos\phi \frac{\PD}{\PD r}

1. \frac{1}{r}\cos\theta\cos\phi \frac{\PD}{\PD \theta}

• \frac{\sin\phi}{r\sin\theta} \frac{\PD}{\PD \phi}\\[4mm]

\displaystyle\frac{\PD}{\PD y}= \sin\theta\sin\phi \frac{\PD}{\PD r}

1. \frac{1}{r}\cos\theta\sin\phi \frac{\PD}{\PD \theta}
2. \frac{\cos\phi}{r\sin\theta} \frac{\PD}{\PD \phi}\\[4mm]

\displaystyle \frac{\PD}{\PD z}= \cos\theta \frac{\PD}{\PD r}

• \frac{1}{r}\sin\theta \frac{\PD}{\PD \theta}\\[4mm]

\end{cases} );

球座標のラプラシアン†

　

に上記を代入すれば求まる！　・・・　実際やってみると非常に大変。→ 計算の詳細

結果だけまとめると、

　&math( \nabla^2&=\frac{\PD^2}{\PD r^2}+\frac{2}{r} \frac{\PD}{\PD r}+\frac{1}{r^2}\hat\Lambda\\

       &=\frac{1}{r}\frac{\PD^2}{\PD r^2}r+\frac{1}{r^2}\hat\Lambda

);

ただし、

　&math(\hat\Lambda=\frac{1}{\sin\theta} \frac{\PD}{\PD \theta} \Big(\sin\theta\frac{\PD}{\PD \theta}\Big)+\frac{1}{\sin^2\theta} \frac{\PD^2}{\PD \phi^2});

球座標の角運動量演算子†

原点中心の角運動量 に相当する角運動量演算子は となるのであった。

これを球座標表示にするのも、原理的には単に代入すればよい。が、やはり計算は大変 → 詳細はこちら

&math( \begin{cases} \displaystyle \hat l_x=-i\hbar\Big(y\frac{\PD}{\PD z}-z\frac{\PD}{\PD y}\Big) =i\hbar\Big(+\sin\phi\frac{\PD}{\PD\theta}+\frac{\cos\phi}{\tan\theta}\frac{\PD}{\PD\phi}\Big) \\[4mm] \displaystyle \hat l_y=-i\hbar\Big(z\frac{\PD}{\PD x}-x\frac{\PD}{\PD z}\Big) =i\hbar\Big(-\cos\phi\frac{\PD}{\PD\theta}+\frac{\sin\phi}{\tan\theta}\frac{\PD}{\PD\phi}\Big) \\[4mm] \displaystyle \hat l_z=-i\hbar\Big(x\frac{\PD}{\PD y}-y\frac{\PD}{\PD x}\Big) =-i\hbar\frac{\PD}{\PD\phi} \end{cases} );

全角運動量は、

　&math( \hat{\bm l}^2&=\hat l_x^2+\hat l_y^2+\hat l_z^2 =-\hbar^2\Big[\frac{1}{\sin\theta}\frac{\PD}{\PD\theta}\Big(\sin\theta\frac{\PD}{\PD\theta}\Big)+\frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\PD^2}{\PD\phi^2}\Big] =-\hbar^2\hat\Lambda );

方向を除くと、

　&math( \hat l_x^2+\hat l_y^2=&\,\hat{\bm l}^2-\hat l_z^2\\ =&-\hbar^2\left[\frac{1}{\sin\theta} \frac{\PD}{\PD \theta} \Big(\sin\theta\frac{\PD}{\PD \theta}\Big)+\frac{1}{\sin^2\theta} \frac{\PD^2}{\PD \phi^2}\right]+\hbar^2\frac{\PD^2}{\PD \phi^2}\\ =&-\hbar^2\left[\frac{1}{\sin\theta} \frac{\PD}{\PD \theta} \Big(\sin\theta\frac{\PD}{\PD \theta}\Big)+\frac{1}{\tan^2\theta} \frac{\PD^2}{\PD \phi^2}\right]\\ );

このほかに、

　

も有用な演算子となることを後に見る。