ケーリー・ハミルトンの定理

(3642d) 更新

線形代数Ｉ/対角化（一般の場合）

証明 †

ケーリーハミルトンの定理が一般の（対角化不能な） A でも成立することを証明する。

A を三角化する P に対して、

P^{-1}AP=&\begin{bmatrix} \lambda_1&*&\dots&*\\ 0&\lambda_2&&\vdots\\ \vdots&&\ddots&*\\ 0&\dots&0&\lambda_n \end{bmatrix}

であり、

f_A(\lambda)=(\lambda_1-\lambda)(\lambda_2-\lambda)\dots(\lambda_n-\lambda)

であった。そこで、

&P^{-1}f_A(A)P\\ &=P^{-1}(\lambda_1 I-A)(\lambda_2 I-A)\dots (\lambda_n I-A)P\\ &=P^{-1}(\lambda_1 I-A)PP^{-1}(\lambda_2 I-A)P\dots P^{-1}(\lambda_n I-A)P\\ &=(\lambda_1 I-P^{-1}AP)(\lambda_2 I-P^{-1}AP)\dots (\lambda_n I-P^{-1}AP)\\ &=\underbrace{\begin{bmatrix} 0&*&\dots&*\\ 0&\lambda_1-\lambda_2&&\vdots\\ \vdots&&\ddots&*\\ 0&\dots&0&\lambda_1-\lambda_n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \lambda_2-\lambda_1&*&\dots&*\\ 0&0&&\vdots\\ \vdots&&\ddots&*\\ 0&\dots&0&\lambda_2-\lambda_n \end{bmatrix}}_{ここを計算} \dots \begin{bmatrix} \lambda_n-\lambda_1&*&\dots&*\\ 0&\lambda_n-\lambda_2&&\vdots\\ \vdots&&\ddots&*\\ 0&\dots&0&0 \end{bmatrix}\\ &= \begin{bmatrix} 0&0&*&\cdots&\cdots&*\\ 0&0&*&&&\vdots\\ 0&0&*&&&\vdots\\ \vdots&\vdots&0&\ddots&&\vdots\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\ddots&\vdots\\ 0&\cdots&0&\cdots&0&* \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \lambda_3-\lambda_1&*&*&\dots&*\\ 0&\lambda_3-\lambda_2&*&&\vdots\\ 0&&0&&\vdots\\ \vdots&&&\ddots&*\\ 0&\cdots&\cdots&0&\lambda_3-\lambda_n \end{bmatrix} \dots \begin{bmatrix} \lambda_n-\lambda_1&*&\dots&*\\ 0&\lambda_n-\lambda_2&&\vdots\\ \vdots&&\ddots&*\\ 0&\dots&0&0 \end{bmatrix}\\ &\ \,\vdots\\ &=\begin{bmatrix} 0&\cdots&0&*\\ \vdots&&\vdots&\vdots\\ \vdots&&\vdots&*\\ 0&\dots&0&0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \lambda_n-\lambda_1&*&\dots&*\\ 0&\lambda_n-\lambda_2&&\vdots\\ \vdots&&\ddots&*\\ 0&\dots&0&0 \end{bmatrix}=O\\

途中に現れる行列のかけ算を左から計算していくと、 徐々にゼロ列ベクトルの数が増えていき、最終的にゼロ行列になる。

したがって、左から P 右から P^{-1} を掛ければ

f_A(A)=O

となる。

質問・コメント †




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