線形代数I/小テスト/2006-04-19

(3143d) 更新

問1

次の2つの平面の交線をベクトルのパラメータ表示で \bm{r}=t\bm{a}+\bm{b} として表せ。

5x+8y+3z=7 \\4x+3y-z=1

問2

次の3点が平面 \bm{r}=s\bm{a}+t\bm{b}+\bm{c} に含まれるか判定せよ。
ただし、 \bm{a}=(1,3,2) , \bm{b}=(-3,1,1) , \bm{c}=(-8,1,2) とする。

1) (-9,8,7)

2) (4,2,1)

3) (2,1,1)

問3

次の3つのベクトルが一次独立かどうか判定せよ。

(1,3,5) , (2,4,6) , (3,5,7)

(H16期末試験の問1(1)より)

問4

3個のベクトル \bm{u},\bm{v},\bm{w} は一次独立とする。
このとき \bm{u}+\bm{v} , \bm{u}-\bm{v} , \bm{u}-2\bm{v}+\bm{w} が一次独立であることを示せ。

(H17期末試験の問1(2)より)


解答1A

5x+8y+3z=7 ・・・ ①
4x+3y-z=1 ・・・ ②

この2式を同時に満たす (x,y,z) の集合が求める直線となる。

条件を以下のように変形しよう。

①+②x3より

5x+8y+3z=7\ \ \\+\underline{)\ \ 12x+9y-3z=3\ \ } \\17x+17y\ \ \ \ \ \ =10

y=-x+10/17 ・・・ ③

③を①に代入

5x-8x+80/17+3z=7

3z=&3x+7-80/17 \\=&4x+39/17

z=x+13/17 ・・・ ④

③と④より

x&=t \\y&=-t+10/17 \\z&=t+13/17

の形に表せるすべての (x,y,z) が与式を満たすことが分かる。

これをベクトルの形に書くと、

\left(\!\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\!\right)=t \left(\!\begin{array}{c}1\\-1\\1\end{array}\!\right) +\left(\!\begin{array}{c}0\\10/17\\13/17\end{array}\!\right)

となり、求める式を得たことになる。

以下は蛇足であるが・・・

得た式が正しいことは、与式に代入することで直接示すことができる。

すなわち、

5(t)+8(-t+10/17)+3(t+13/17)&=7\\(5-8+3)t+(80/17+39/17-7)&=0\\80+39-119&=0

および

4(t)+3(-t+10/17)-(t+13/17)&=1\\(4-3-1)t+(30/17-13/17-1)&=0\\30-13-17&=0

となる。

解答1B

平面 ax+by+cz=d はベクトル (a,b,c) に垂直である。

従って、問題文の2平面に含まれる直線は (5,8,3) , (4,3,-1) の両方に垂直である。

2ベクトルに垂直なベクトルは外積を用いると簡単に求めることができて、

\left(\begin{array}{c}5\\8\\3\end{array}\right) \times \left(\begin{array}{c}4\\3\\-1\end{array}\right) &= \left(\begin{array}{c}( 8 \times -1 ) - ( 3 \times 3 ) \\( 3 \times 4 ) - (-1 \times 5 ) \\( 5 \times 3 ) - ( 4 \times 8 ) \end{array}\right) \\ = \left(\begin{array}{c}-17 \\ 17 \\ -17\end{array}\right) &= -17 \left(\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ 1\end{array}\right)

を得る。

次に直線上の1点として x=0 面との交点を求めよう。

5 \cdot 0 + 8y + 3z &= 7 \\4 \cdot 0 + 3y - z &= 7

より

\left(0, \frac{10}{17}, \frac{13}{17}\right)

が直線上の一点であることが分かる。

以上より、求める直線は \left(0, \frac{10}{17}, \frac{13}{17}\right) を通り \left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & 1\end{array}\right) に 平行な直線なので、

\left(\!\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\!\right)=t \left(\!\begin{array}{c}1\\-1\\1\end{array}\!\right) +\left(\!\begin{array}{c}0\\10/17\\13/17\end{array}\!\right)

と表すことができる。

解答2の概略

基本的に代入して確かめてみるしかない。

1) 与えられた平面に含まれる。 s=2, t=1 に相当する。

2) 与えられた平面には含まれない。

3) 与えられた平面に含まれる。 s=1, t=-3 に相当する。

もちろん試験などの解答では過程も示す必要がある。

解答3

これも地道に式を建てて解いてみるしかない。

s \cdot (1,3,5)+ t \cdot (2,4,6) + u \cdot (3,5,7) = \bm{o} ・・・ ①

を満たす (s, t, u) (0,0,0) のみであれば一次独立で、 他にもあれば一次従属である。

この式は次の一次連立方程式を与える。

\left\{\begin{array}{l}s+2t+3u=0 \\3s+4t+5u=0 \\5s+6t+7u=0 \end{array}\right.

1つ目の式を2倍して2つ目の式を引くと

u=s

これを1つ目の式に代入し、

t=-2s

これらを3つ目の式に代入すると

5s+6(-2s)+7s&=(5-12+7)s \\ &=0

で、この式は任意の s について成立する。

すなわち①は (s,t,u)=(\alpha,-2\alpha,\alpha) と表せる すべての値の組み合わせについて成立し、与えられた3つのベクトルが 一次独立ではない、つまり一次従属であることが示された。

解答4

\bm{u}+\bm{v} , \bm{u}-\bm{v} , \bm{u}-2\bm{v}+\bm{w} について

a(\bm{u}+\bm{v})+b(\bm{u}-\bm{v})+c(\bm{u}-2\bm{v}+\bm{w})=0

を満たし、なおかつ (a,b,c)\ne(0,0,0) である実数の組 (a,b,c) が 存在するかどうかを考える。

上式を整理すると

(a+b+c)\bm{u}+(a-b-2c)\bm{v}+c\bm{w}=0

を得るが、 \bm{u},\bm{v},\bm{w} は一次独立なので、

a+b+c&=0 \\a-b-2c&=0 \\c &= 0

でなければならない。

この式から容易に a=0, b=0, c=0 を導くことができ、 すなわち \bm{u}+\bm{v} , \bm{u}-\bm{v} , \bm{u}-2\bm{v}+\bm{w} が一次独立であることが示される。

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