線形代数I/教科書問/1.3

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問1.3

\bm{a}_1,\dots,\bm{a}_k が一次独立であれば、その一部 \bm{a}_1,\dots,\bm{a}_i ただし i<k も一次独立であることを示せ。

回答

対偶を取って \bm{a}_1,\dots,\bm{a}_i が一次従属であれば \bm{a}_1,\dots,\bm{a}_k も一次従属であることを示せばよい。

x_1\bm{a}_1+x_2\bm{a}_2+\dots+x_i\bm{a}_i=\bm{o}

となる \{x_n\} が存在するとしよう。 ただし、 \{x_n\} x_m\ne 0 となるような要素を含む。

このとき、

x_1\bm{a}_1+x_2\bm{a}_2&+\dots+x_i\bm{a}_i+0\cdot \bm{a}_{i+1}\\&+0\cdot \bm{a}_{i+2}+\dots+0\cdot \bm{a}_{k}=\bm{o}

であり、これは \bm{a}_1,\dots,\bm{a}_k が一次従属であることを示している。

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