復習:ベクトルと図形

(248d) 更新

線形代数II

内容

  • ベクトルに対応する点、点に対応するベクトル、ベクトルの長さ
  • 内積と2つのベクトルのなす角
  • ベクトルで表す直線や平面
  • ベクトルの回転・反転を表す行列
  • 複素ベクトルの内積

演習

(1)

xy 平面上の三角形 \mathrm(ABC) の2辺が \overrightarrow{\mathrm{AB}}=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix} \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\begin{pmatrix}3\\-1\end{pmatrix} で与えられるとき、 辺 \mathrm{BC} の長さ および \cos \angle\mathrm{BAC} を求めよ。
また、これらを参考にして \triangle \mathrm{ABC} \angle\mathrm{BAC} に対する余弦定理を証明せよ。

(2)

xyz 空間内において、 2点 \mathrm A=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix},\ \mathrm B=\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix} を通る直線、および、 点 \mathrm A を通り、直線 \mathrm{AB} に垂直な平面を、ベクトルを用いたパラメータ表示で表せ。

(3)

xyz 空間内において、 z 方向の単位ベクトルを、 y 軸を回転軸として x 軸方向に \theta 回転し、さらに、 z 軸を回転軸として x 軸方向から y 軸方向へ \phi 回転した後、 r 倍して得られるベクトルを答えよ。

(4)

任意の2次元複素ベクトル \bm a=\begin{pmatrix} a+bi\\ c+di \end{pmatrix} について、 |\bm a|^2=(\bm a,\bm a)\in\mathbb{R} となることを確かめよ。 ただし、 a,b,c,d\in\mathbb R とする。

解答および解説

(1)

\mathrm{BC}=|\overrightarrow{\mathrm{BC}}|

\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{\mathrm{AC}}-\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\begin{pmatrix}3\\-1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\-3\end{pmatrix}

|\overrightarrow{\mathrm{BC}}|=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}

\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AC}}= |\overrightarrow{\mathrm{AB}}||\overrightarrow{\mathrm{AC}}|\cos\angle \mathrm{BAC} より、

\cos\angle \mathrm{BAC}= \frac{\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AC}}}{|\overrightarrow{\mathrm{AB}}||\overrightarrow{\mathrm{AC}}|}=\frac{1\cdot 3+2\cdot(-1)}{\sqrt{1^2+3^2}\sqrt{2^2+(-1)^2}} =\frac{1}{5\sqrt{2}}

\triangle \mathrm{ABC} \angle\mathrm{BAC} に対する余弦定理は、

|\mathrm{AB}|^2+|\mathrm{AC}|^2-|\mathrm{AB}|\,|\mathrm{AC}|\cos\angle\mathrm{BAC} &=|\overrightarrow{\mathrm{BC}}|^2

であるが、

(右辺)=|\overrightarrow{\mathrm{AC}}-\overrightarrow{\mathrm{AB}}|^2

であり、この右辺を展開すれば左辺が得られる。

(2)

直線は、

\bm p&=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+s \overrightarrow{\mathrm{AB}}\\ &=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+s (\overrightarrow{\mathrm{OB}}-\overrightarrow{\mathrm{OA}})\\ &=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}+s\bigg (\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}\bigg)\\ &=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}-2\\-2\\-2\end{pmatrix}\\
\phantom{\bm p}&=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}+s'\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\\

ただし、 s' は任意の実数パラメータ。

一方、平面を表すには \overrightarrow{\mathrm{AB}} と垂直な2つのベクトル、例えば

\bm a=\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}, \bm b=\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}

を用いて(この2つのベクトル、暗算で見つけられますね?)次式を得る。

\bm p=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\bm a+u\bm b =\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix} +t\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix} +u\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}

(3)

2次元で考えた場合、 xy 平面上で x 軸方向から y 軸方向へ反時計回りに \phi 回転する操作に対応する行列は \begin{pmatrix} \cos\phi&-\sin\phi\\ \sin\phi&\cos\phi \end{pmatrix} であった。

この操作により、 \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\cos\phi\\\sin\phi\end{pmatrix} へ、 \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}-\sin\phi\\\cos\phi\end{pmatrix} へ、 それぞれ正しく移されることに注意せよ。

3次元空間で考えれば、同様の操作を表す行列は、 \begin{pmatrix} \cos\phi&-\sin\phi&0\\ \sin\phi&\cos\phi&0\\ 0&0&0\\ \end{pmatrix} となる。

同様に、 zx 平面上で z 軸方向から x 軸方向へ \theta 回転する操作に対応する行列は、 \begin{pmatrix} \cos\theta&0&\sin\theta\\ 0&0&0\\ -\sin\theta&0&\cos\theta \end{pmatrix} となる。

この操作により、 \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\cos\theta\\0\\-\sin\theta\end{pmatrix} へ、 \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\sin\theta\\0\\\cos\theta\end{pmatrix} へ、 それぞれ正しく移されることに注意せよ。

z 方向の単位ベクトル \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix} に これらの操作を続けて行い、最後に r 倍した結果は、

\begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix}&=r\begin{pmatrix} \cos\phi&-\sin\phi&0\\ \sin\phi&\cos\phi&0\\ 0&0&1\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos\theta&0&\sin\theta\\ 0&1&0\\ -\sin\theta&0&\cos\theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\\ &=r\begin{pmatrix} \cos\phi&-\sin\phi&0\\ \sin\phi&\cos\phi&0\\ 0&0&1\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \sin\theta\\0\\\cos\theta \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} r\cos\phi\sin\theta\\ r\sin\phi\sin\theta\\ \cos\theta\\ \end{pmatrix}

(4)

|\bm a|^2&=(\bm a,\bm a)=\begin{pmatrix} a+bi\\ c+di \end{pmatrix}^\dagger\begin{pmatrix} a+bi\\ c+di \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} a-bi& c-di \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a+bi\\ c+di \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} (a-bi)(a+bi)+ (c-di)(c+di) \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} a^2-(bi)^2+ c^2-(di)^2 \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} a^2+b^2+c^2+d^2 \end{pmatrix}\\ &=a^2+b^2+c^2+d^2\in\mathbb{R}

またこの結果から、 a,b,c,d のどれか一つでもゼロで無い実数が含まれていれば |\bm a|^2>0 となること、言い換えれば、 |\bm a|^2=0 となるのは \bm a=\bm 0 のときに限ることが分かる。

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