線形代数II/抽象線形空間/性質 のバックアップ差分(No.1)
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[[線形代数Ⅱ/抽象線形空間]] * 群の公理からいくつか簡単な定理を導く [#dd385483] ** ゼロ元はただ1つだけ存在する [#j804864f] &math(\bm 0,\bm 0'); がどちらもゼロ元であったとすると、 &math( \bm 0&=\bm 0+\bm 0' & & (ゼロ元 \bm 0') \\ &=\bm 0'+\bm 0 & & (和の交換則) \\ &=\bm 0' & & (ゼロ元 \bm 0) ); より、&math(\bm 0=\bm 0'); が導かれる。 ** 逆元はただ1つだけ存在する [#k19f92fe] &math(\bm x); の逆元が、&math((-\bm x),(-\bm x)'); の2つ存在したとすると、 &math( (-\bm x)&=(-\bm x)+\bm 0 && (ゼロ元) \\ &=(-\bm x)+\{\bm x+(-\bm x)'\} && (逆元 (-\bm x)') \\ &=\{(-\bm x)+\bm x\}+(-\bm x)' && (和の結合則) \\ &=\{\bm x+(-\bm x)\}+(-\bm x)' && (和の交換則) \\ &=\bm 0+(-\bm x)' && (逆元 (-\bm x)) \\ &=(-\bm x)'+\bm 0 && (和の交換則) \\ &=(-\bm x)' && (ゼロ元) ); ** 引き算 [#ce28fbed] &math(\bm x,\bm y\in V); について、&math(\bm y); の逆元を &math((-\bm y)); とするとき、 &math(\bm x-\bm y\equiv \bm x+(-\bm y)); として、ベクトルの引き算を導入できる。 ** x-x=0 [#f412ef86] &math(\bm x-\bm x=\bm x+(-\bm x)=\bm 0);
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