線形代数II/抽象線形空間 のバックアップ(No.1)

更新

線形代数Ⅱ?

「線形代数学」の意味 †

１年生の線形代数Ｉにおいて、「線形」の意味を教わった。

関数 f(\bm x) が線形とは f(a \bm x+b \bm y)=a f(\bm x)+b f(\bm y) が成り立つこと

では「代数学」とは何だろうか？

小学生から大学１年生まで、様々な「数」を学んだ。

  • \mathbb N 自然数 = 加算・乗算について閉じている
  • \mathbb Z 整数　 = 減算についても閉じている
  • \mathbb Q 有理数 = 除算について「ほぼ」閉じている
  • \mathbb R 実数　 = 収束する有理数列の極限演算について閉じている
  • \mathbb C 複素数 = 関数の求根操作について閉じている

知っての通り \mathbb N \subset \mathbb Z \subset \mathbb Q \subset \mathbb R \subset \mathbb C であり、これまでの数学では新しい「演算」の導入により「数の集合」を拡大する方向で学んできた。

  • 解析学は主に \mathbb C の上（あるいは \mathbb C^n の上）で 極限や微積分を扱う数学である

代数学は \mathbb N, \mathbb Z, \mathbb Q, \mathbb R, \mathbb C の系列から外れて、
例えば、

乗算は定義されるが加算は定義されない数の集合

などというように、「何らかの演算」が定義された「数の集合」を定め、 そこに現れる「構造」を研究する学問である。

これから学ぶ「ベクトル」も上で言う「数」の一員である。

代数学的な数の例 †

ある「数」の集合 \mathbb U には演算 * が定義され、 \mathbb U は * について閉じているものとする。
すなわち x,y \in \mathbb U\rightarrow x*y\in \mathbb U である。

さらにこの演算が次の性質を持つ時、

  1. 結合法則 (a*b)*c=a*(b*c) を満たす
  2. ある特別な元（単位元） \math(1\in \mathbb U); が存在して、すべての x \in \mathbb U に対して 1*x=x*1=x を満たす
  3. すべての x \in \mathbb U に対して逆元 y\in \mathbb U が存在し、 x*y=y*x=1 を満たす

このような集合 \mathbb U は代数学において「群」と呼ばれる。

一見すると、 \mathbb U を有理数 Q 、 * を通常の乗算 \times と考えれば 「群の公理」を満たしそうに思えるが、 0\in \mathbb Q が逆元を持たないため、 有理数 Q は乗算 \times に対して群とはならない。

\mathbb U を有理数 Q からゼロを除いた集合 Q-\{0\} 、 * を通常の乗算 \times 、単位元を 1 とすれば、この集合は群を為す。

また、 \mathbb U を整数 \mathbb Z 、 * を通常の加算 + 、単位元を 0 と考えると、この場合も上記３つすべての条件を満たし、群を為す。

また、 \mathbb U をゼロ以上の k の倍数 {nk|n\ge0 \& n\in \mathbb N} 、 * を通常の加算 + 、単位元を 0 と考えると、この場合も上記３つすべての条件を満たし、群を為す。

Counter: 23995 (from 2010/06/03), today: 9, yesterday: 5