ケーリー・ハミルトンの定理 の変更点

更新 
[[線形代数Ｉ/対角化（一般の場合）]]

* 証明 [#p0efd8b6]

ケーリーハミルトンの定理が一般の（対角化不能な） &math(A); でも成立することを証明する。

&math(A); を三角化する &math(P); に対して、

&math(P^{-1}AP=&\begin{bmatrix}
\lambda_1&*&\dots&*\\
0&\lambda_2&&\vdots\\
\vdots&&\ddots&*\\
0&\dots&0&\lambda_n
\end{bmatrix});

であり、

&math(f_A(\lambda)=(\lambda_1-\lambda)(\lambda_2-\lambda)\dots(\lambda_n-\lambda));

であった。そこで、

&math(
&P^{-1}f_A(A)P\\
&=P^{-1}(\lambda_1 I-A)(\lambda_2 I-A)\dots (\lambda_n I-A)P\\
&=P^{-1}(\lambda_1 I-A)PP^{-1}(\lambda_2 I-A)P\dots P^{-1}(\lambda_n I-A)P\\
&=(\lambda_1 I-P^{-1}AP)(\lambda_2 I-P^{-1}AP)\dots (\lambda_n I-P^{-1}AP)\\
&=\underbrace{\begin{bmatrix}
0&*&\dots&*\\
0&\lambda_1-\lambda_2&&\vdots\\
\vdots&&\ddots&*\\
0&\dots&0&\lambda_1-\lambda_n
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\lambda_2-\lambda_1&*&\dots&*\\
0&0&&\vdots\\
\vdots&&\ddots&*\\
0&\dots&0&\lambda_2-\lambda_n
\end{bmatrix}}_{ここを計算}
\dots
\begin{bmatrix}
\lambda_n-\lambda_1&*&\dots&*\\
0&\lambda_n-\lambda_2&&\vdots\\
\vdots&&\ddots&*\\
0&\dots&0&0
\end{bmatrix}\\
&=
\begin{bmatrix}
0&0&*&\cdots&\cdots&*\\
0&0&*&&&\vdots\\
0&0&*&&&\vdots\\
\vdots&\vdots&0&\ddots&&\vdots\\
\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\ddots&\vdots\\
0&\cdots&0&\cdots&0&*
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\lambda_3-\lambda_1&*&*&\dots&*\\
0&\lambda_3-\lambda_2&*&&\vdots\\
0&&0&&\vdots\\
\vdots&&&\ddots&*\\
0&\cdots&\cdots&0&\lambda_3-\lambda_n
\end{bmatrix}
\dots
\begin{bmatrix}
\lambda_n-\lambda_1&*&\dots&*\\
0&\lambda_n-\lambda_2&&\vdots\\
\vdots&&\ddots&*\\
0&\dots&0&0
\end{bmatrix}\\
&\ \,\vdots\\
&=\begin{bmatrix}
0&\cdots&0&*\\
\vdots&&\vdots&\vdots\\
\vdots&&\vdots&*\\
0&\dots&0&0
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\lambda_n-\lambda_1&*&\dots&*\\
0&\lambda_n-\lambda_2&&\vdots\\
\vdots&&\ddots&*\\
0&\dots&0&0
\end{bmatrix}=O\\
);

途中に現れる行列のかけ算を左から計算していくと、
徐々にゼロ列ベクトルの数が増えていき、最終的にゼロ行列になる。

したがって、左から &math(P); 右から &math(P^{-1}); を掛ければ

&math(f_A(A)=O);

となる。

* 質問・コメント [#j265c93a]

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