電子の波動方程式/メモ の変更点

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[[量子力学Ⅰ/電子の波動方程式]]

* 解答:波動方程式(電磁波の場合) [#a06edf32]

(1)

 &math(
\frac{\PD^2}{\PD t^2}\bm E(\bm r,t)
&=\frac{\PD^2}{\PD t^2}\bm E_0\cos(\bm k\cdot\bm r-\omega t)\\
&=\frac{\PD}{\PD t}\Big[\omega\bm E_0\sin(\bm k\cdot\bm r-\omega t)\Big]\\
&=-\omega^2\bm E_0\cos(\bm k\cdot\bm r-\omega t)
);

(2)

 &math(
\frac{\PD^2}{\PD x^2}\bm E(\bm r,t)
&=\frac{\PD^2}{\PD x^2}\bm E_0\cos(k_xx+k_yy+k_zz-\omega t)\\
&=\frac{\PD}{\PD x}\Big[-k_x\bm E_0\sin(k_xx+k_yy+k_zz-\omega t)\Big]\\
&=-k_x^2\bm E_0\cos(\bm k\cdot\bm r-\omega t)
);

同様に、&math(
\frac{\PD^2}{\PD y^2}\bm E=-k_y^2\bm E
);、
&math(
\frac{\PD^2}{\PD z^2}\bm E=-k_z^2\bm E
); だから、

 &math(
\nabla^2\bm E(\bm r,t)
&=\Big(\frac{\PD^2}{\PD x^2}+\frac{\PD^2}{\PD x^2}+\frac{\PD^2}{\PD x^2}\Big)\bm E(\bm r,t)\\
&=\big(-k_x^2-k_y^2-k_z^2\big)\bm E(\bm r,t)\\
&=-|\bm k|^2\bm E(\bm r,t)
);

(3)

(1), (2) を使って波動方程式を書き換えると、

 &math(-k^2\bm E(\bm r,t)=-\frac{\omega^2}{c^2}\bm E(\bm r,t));

したがって、&math(\bm E_0\ne 0); であるかぎり、

 &math(k^2=\omega^2/c^2);

あるいは、

 &math(ck=\pm\omega);

となる必要がある。

(4) &math(\lambda=cT); より、

 &math(\frac{1}{T}=\frac{c}{\lambda});

 &math(\frac{2\pi}{T}=c\frac{2\pi}{\lambda});

 &math(\omega=ck);

(5)

 &math(\frac{\PD^2}{\PD t^2}\bm E(\bm r,t)
&=\frac{\PD^2}{\PD t^2}\bm E_0f(k_xx+k_yy+k_zz-\omega t)\\
&=\frac{\PD}{\PD t}\Big[-\omega\bm E_0f'(k_xx+k_yy+k_zz-\omega t)\Big]\\
&=\omega^2\bm E_0f''(\bm k\cdot\bm r-\omega t)
);

また、

 &math(\frac{\PD^2}{\PD x^2}\bm E(\bm r,t)
&=\frac{\PD^2}{\PD x^2}\bm E_0f(k_xx+k_yy+k_zz-\omega t)\\
&=\frac{\PD}{\PD x}\Big[k_x\bm E_0f'(k_xx+k_yy+k_zz-\omega t)\Big]\\
&=k_x^2\bm E_0f''(\bm k\cdot\bm r-\omega t)
);

より、波動方程式は

 &math(k^2\bm E_0f''(\bm k\cdot\bm r-\omega t)=\frac{\omega^2}{c^2}\bm E_0f''(\bm k\cdot\bm r-\omega t));

と書き換えられて、(3), (4) と同様に &math(ck=\pm\omega); 
である限り、波動方程式を満たすことが確かめられる。

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