線形代数I/教科書定理/2.10 のバックアップ(No.1)
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定理2.10 †
線形写像が1対1であることと、その核がゼロベクトルのみを含むこと、 すなわち とは同値である。
証明1(教科書のもの) †
まず線形写像の核は必ずゼロベクトルを含むことを示す。
なぜならベクトルと線形写像の性質から、
であるが、両辺に を加えると、
つまり、 となる。
ところが、 が1対1写像であれば であれば なので、 はゼロベクトル以外の要素を含まない。
逆に、 であるとすると、
を変形して
より、
すなわち
を導くことができ、この対偶として が1対1写像であること が示される。
証明2 †
線形写像 が1対1である
の定義は
であるような について である
ということであった。これを数学的に書けば
となるが、これの対偶は
である。
さらに両辺を変形すると、
さらに と置けば、
であり、これは と同値である。
途中の変形はすべて同値変形であるから、定理は証明された。
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