スピントロニクス理論の基礎/5-2

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5-2 スピン波励起

L_S の運動を決める主要部は後半の KS^2 のかかった部分であるそうだ。
というのも、その部分がちょうどハミルトニアンなので、当然と言えば当然な感じ。

次の方程式を満たす固有関数を用いることでその部分を対角化できる。

(5.12)

\left\{-\lambda^2\nabla_z^2+\left(1-\frac{2}{\cosh^2\frac{z-X}{\lambda}}\right)\right\}\varphi_\omega=\omega\varphi_\omega

(5.11) で \nabla だった部分が \nabla_z になっているのは、 \nabla_x\tilde\eta=\nabla_y\tilde\eta=0 であるため。

最低の固有値は \omega=0 であり、対応する固有関数は

(5.13)

\varphi_0=\frac{1}{\cosh\frac{z-X}{\lambda}}

である。

&\left\{-\lambda^2\nabla_z^2+\left(1-\frac{2}{\cosh^2\frac{z-X}{\lambda}}\right)\right\}\frac{1}{\cosh\frac{z-X}{\lambda}}\\ &=\nabla_z\left(\frac{\lambda\sinh\frac{z-X}{\lambda}}{\cosh^2\frac{z-X}{\lambda}}\right)+\left(1-\frac{2}{\cosh^2\frac{z-X}{\lambda}}\right)\frac{1}{\cosh\frac{z-X}{\lambda}}\\ &=\left(\frac{\cosh\frac{z-X}{\lambda}}{\cosh^2\frac{z-X}{\lambda}}-\frac{2\sinh^2\frac{z-X}{\lambda}}{\cosh^3\frac{z-X}{\lambda}}\right)+\left(1-\frac{2}{\cosh^2\frac{z-X}{\lambda}}\right)\frac{1}{\cosh\frac{z-X}{\lambda}}\\ &=\left(1-\frac{2\left(\cosh^2\frac{z-X}{\lambda}-1\right)}{\cosh^2\frac{z-X}{\lambda}}\right)\frac{1}{\cosh\frac{z-X}{\lambda}}+\left(1-\frac{2}{\cosh^2\frac{z-X}{\lambda}}\right)\frac{1}{\cosh\frac{z-X}{\lambda}}\\ &=0

その他の固有値は連続で、パラメータ -\infty<k<\infty を用いて

(5.14)

\omega=1+k^2\lambda^2\equiv\omega_k

と表される。対応する固有関数は、

(5.15)

\varphi_k(z)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\omega_k}}\left(-ik\lambda+\tanh\frac{z-X}{\lambda}\right)e^{ik(z-X)}

である。

&\nabla_z^2\left(-ik\lambda+\tanh\frac{z-X}{\lambda}\right)e^{ik(z-X)}\\ &=\nabla_z\left\{ik\left(-ik\lambda+\tanh\frac{z-X}{\lambda}\right)e^{ik(z-X)}+\frac{1}{\lambda\cosh^2\frac{z-X}{\lambda}}e^{ik(z-X)}\right\}\\ &=-k^2\left(-ik\lambda+\tanh\frac{z-X}{\lambda}\right)e^{ik(z-X)}+\frac{2ik}{\lambda\cosh^2\frac{z-X}{\lambda}}e^{ik(z-X)} -\frac{2\sinh\frac{z-X}{\lambda}}{\lambda^2\cosh^3\frac{z-X}{\lambda}}e^{ik(z-X)}\\ &=\left(ik^3\lambda-k^2\tanh\frac{z-X}{\lambda} +\frac{2ik}{\lambda\cosh^2\frac{z-X}{\lambda}} -\frac{2\tanh\frac{z-X}{\lambda}}{\lambda^2\cosh^2\frac{z-X}{\lambda}}\right)e^{ik(z-X)}

&\left\{-\lambda^2\nabla_z^2+\left(1-\frac{2}{\cosh^2\frac{z-X}{\lambda}}\right)\right\}\frac{1}{\sqrt{2\pi\omega_k}}\left(-ik\lambda+\tanh\frac{z-X}{\lambda}\right)e^{ik(z-X)}\\ &=-\frac{1}{\sqrt{2\pi\omega_k}}\left(ik^3\lambda^3-k^2\lambda^2\tanh\frac{z-X}{\lambda} +\frac{2ik\lambda}{\cosh^2\frac{z-X}{\lambda}} -\frac{2\tanh\frac{z-X}{\lambda}}{\cosh^2\frac{z-X}{\lambda}}\right)e^{ik(z-X)} \\ &\hspace{5mm}+\frac{1}{\sqrt{2\pi\omega_k}} \left(-ik\lambda+\tanh\frac{z-X}{\lambda} +\frac{2ik}{\cosh^2\frac{z-X}{\lambda}}-\frac{2\tanh\frac{z-X}{\lambda}}{\cosh^2\frac{z-X}{\lambda}}\right) e^{ik(z-X)}\\ &=\frac{1}{\sqrt{2\pi\omega_k}}\left(-ik\lambda+\tanh\frac{z-X}{\lambda} -ik^3\lambda^3+k^2\lambda^2\tanh\frac{z-X}{\lambda}\right) e^{ik(z-X)}\\ &=\frac{1}{\sqrt{2\pi\omega_k}}(1+k^2\lambda^2)\left(-ik\lambda+\tanh\frac{z-X}{\lambda}\right) e^{ik(z-X)}\\ &=\omega_k\varphi_k

\varphi_0 は固有値がゼロであるためゼロモードと呼ばれる。

この \varphi_0 は、定常磁壁解の \theta を使って、

\varphi_0=-\lambda\nabla_z\theta

と書けるという重要な性質を持っている。

というのも、元々 \theta z 依存性は (4.43) で与えられ、

\cos\theta=\tanh\frac{z-X}{\lambda}

\sin\theta=\frac{1}{\cosh\frac{z-X}{\lambda}}

であった。

したがって、

&\cos\theta=\tanh\frac{z-X}{\lambda}\\ &\frac{\PD \theta}{\PD z}\left(\frac{\PD}{\PD \theta}\cos\theta\right)=\frac{\PD}{\PD z}\tanh\frac{z-X}{\lambda}\\ &-\frac{\PD \theta}{\PD z}\sin\theta=\frac{1}{\lambda\cosh^2\frac{z-X}{\lambda}}\\ &-\lambda\frac{\PD \theta}{\PD z}=\frac{1}{\cosh\frac{z-X}{\lambda}}=\varphi_0(z)\\

を得る。

他の固有状態はもちろんこのゼロモードと直交している。

\int_{-\infty}^\infty dz\,\bar\varphi_k(z)\varphi_0(z)=0

まあ、エルミートな線形演算子の異なる固有値に対する固有関数が直交するのは線形代数の基礎的知識な訳だけれど、一応確認する?

inner-product.png

実部は奇関数なので見るまでもないとして、
虚部は偶感数なのでゼロから無限大までの積分がゼロになる必要がある。

上記のように、Mathematica に聞く限りはゼロになるらしいけれど、 解析的にやると、

&\int_{-\infty}^\infty dz\,\bar\varphi_k(z)\varphi_0(z)\\ &=\int_{-\infty}^\infty dz\, \frac{1}{\sqrt{2\pi\omega_k}}\left(-ik\lambda+\tanh\frac{z-X}{\lambda}\right)e^{ik(z-X)}\ \frac{1}{\cosh\frac{z-X}{\lambda}}\\ &=i\,\mathrm{Im}\left[\int_{-\infty}^\infty dz\, \frac{1}{\sqrt{2\pi\omega_k}}\left(-ik\lambda+\tanh\frac{z-X}{\lambda}\right)e^{ik(z-X)}\ \frac{1}{\cosh\frac{z-X}{\lambda}}\right]\\ &=\frac{i}{\sqrt{2\pi\omega_k}}\int_{-\infty}^\infty dz\, \frac{-k\lambda \cos k(z-X) +\sin k(z-X) \tanh \frac{z-X}{\lambda}}{\cosh \frac{z-X}{\lambda}}\\

部分積分により、 k \cos k(z-X) \sin k(z-X) にして、
\lambda/\cosh \frac{z-X}{\lambda} \sinh \frac{z-X}{\lambda}/\cosh^2 \frac{z-X}{\lambda} にすると、
確かに答えはゼロになる。

k\ne 0 については直交基底をなしている。

&\int_{-\infty}^\infty dz\,\bar\varphi_{k'}(z)\varphi_k(z)\\ &= \frac{1}{2\pi\sqrt{\omega_k\omega_k'}}\int_{-\infty}^\infty dz\,\left\{ k'k\lambda^2-i(k-k')\lambda\tanh\frac{z}{\lambda}+\tanh^2\frac{z}{\lambda} \right\}e^{i(k-k')z}\\ &=\frac{1}{2\pi\sqrt{\omega_k\omega_k'}}\int_{-\infty}^\infty dz\,\left\{ k'k\lambda^2e^{i(k-k')z}-i(k-k')\lambda\tanh\frac{z}{\lambda}e^{i(k-k')z}+\frac{\cosh^2\frac{z}{\lambda}-1}{\cosh^2\frac{z}{\lambda}}e^{i(k-k')z} \right\}\\ &=\frac{1}{2\pi\sqrt{\omega_k\omega_k'}}\int_{-\infty}^\infty dz\,\left\{ \big(1+k'k\lambda^2\big)e^{i(k-k')z}-\left(\frac{d}{dz}e^{i(k-k')z}\right)\lambda\tanh\frac{z}{\lambda}-e^{i(k-k')z}\left(\frac{d}{dz}\lambda\tanh\frac{z}{\lambda}\right) \right\}\\ &=\frac{1}{2\pi\sqrt{\omega_k\omega_k'}}\int_{-\infty}^\infty dz\,\left\{ \big(1+k'k\lambda^2\big)e^{i(k-k')z}-\frac{d}{dz}\left(e^{i(k-k')z}\lambda\tanh\frac{z}{\lambda}\right) \right\}\\ &=\delta(k-k')+\frac{\lambda}{2\pi\sqrt{\omega_k\omega_k'}}\left[e^{i(k-k')z}\tanh\frac{z}{\lambda}\right]_{-\infty}^\infty\\ &=\delta(k-k')+\frac{\lambda}{2\pi\sqrt{\omega_k\omega_k'}}\lim_{z\rightarrow \infty}\left[\left\{e^{i(k-k')z}+e^{-i(k-k')z}\right\}\tanh\frac{z}{\lambda}\right]\\ &=\delta(k-k')+\frac{\lambda}{\pi\sqrt{\omega_k\omega_k'}}\lim_{z\rightarrow \infty}\left[\cos\{(k-k')z\}\tanh\frac{z}{\lambda}\right]

x\rightarrow\pm\infty \tanh x\rightarrow \pm 1 なので、 この第2項は z\rightarrow\pm\infty で振動するが、これを無視すると正規直交ということらしい。

スピントロニクス理論の基礎/X-3#m357fd20 でやったように、正負の領域に分けた上で別々に \delta を導入して、最後にゼロに持って行けば第2項もゼロにできるように思うけれど、 このあたりの扱いはまだよく分かっていない。

ゼロモードの正規化

\varphi_0 が正規化されていないのが気になる。

\varphi_0'=\frac{1}{\sqrt{2\lambda}}\varphi_0=\frac{1}{\sqrt{2\lambda}\cosh\frac{z-X}{\lambda}}

とすれば正規化できる?

→ というのではなく、内積の定義に 2\lambda を含めて、

\|\varphi_0\|^2=2\lambda\int dk|\varphi_0|^2=1

というのが正しいっぽい。
5-3 の (5.18)' を参照。

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